2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Коммутирование" спектров
Сообщение04.05.2009, 19:20 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Вспомнилась одна задачка, которую когда-то недоделал , и стало интересно, как же ее все-таки правильно доделать. :oops:
Задачка такая:
Цитата:
Доказать, что характеристический многочлен матрицы $AB$ совпадает с характеристическим многочленом матрицы $BA$.


Может, ничего хитрее прямых вычислений тут и не надо, но эти самые вычисления что-то и не выходят.

P.S. Для бескононечномерных пространств и операторов на них все не так, конечно, $\sigma(AB)  \neq \sigma(BA)$. Например, в пространстве всех многочленов с равномерной нормой на отрезке, с операторами неопределенного интегрирования и дифференциирования. Какой красивый пример подойдет для операторов, действующих в банаховых/гильбертовых пространствах? Причём ограниченных операторов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 19:47 


06/01/09
231
Матрицы $AB$ и $BA$ сопряжены матрицей $A^{-1}$, если такая существует.
Полиномиальная аргументация убивает и оставшийся случай.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 19:57 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
vlad239
Вот как раз полиномиальная аргументация и интересует. :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 20:12 


06/01/09
231
Все стандартно. Докажите следующие факты.
1) коэффициенты характеристического многочлена (первого и второго) есть многочлены от элементов исходных матриц.
2) Если два многочлена от нескольких переменных совпадают при всех значениях переменных - они равны.
3) Если совпадают при всех значениях переменных кроме тех, для которых некий другой многочлен $H=0$, то тоже равны.

Теперь возьмите $H=\det(A)$ и возрадуйтесь.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2009, 02:36 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
vlad239
Пункт один достаточно ясен.
Пункт два: Пусть $f,g$ - данные многочлены, тогда везде $f-g=h \in K[x_1...x_n], h(x_1...x_n) = 0 \Rightarrow h = 0$, т.к. алгебра без делителей нуля.
Пункт три: Возьмем $H(f-g) = 0$ опять же для любого набора переменных, откуда аналогично $f=g$.

Вроде бы так. Спасибо!

Примеры по поводу P.S. по-прежнему интересуют. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2009, 07:27 


06/01/09
231
Пункт 2 поподробнее распишите. Например для конечных полей он неверен. $x^p-x=0$ при всех $x$.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2009, 20:44 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
vlad239
Есть же утверждение о том, что если поле $K$ бесконечно, то разные многочлены из $K[x_1...x_n]$ определяют разные функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2009, 20:46 


06/01/09
231
Ну да, есть.
Если Вы его знаете - то можно пользоваться, конечно. А то фрызу про алгебру без делителей нуля я не понял как-то.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2009, 20:52 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
vlad239
Немного не додумал, ко второму пункту проще непосредственно утверждение выше использовать.
А по третьему - именно исходя из того, что делителей нуля нет. То есть $H$ - ненулевой, $H(f-g) = 0 \Rightarrow f=g$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Коммутирование" спектров
Сообщение06.05.2009, 11:09 


20/04/09
1067
id писал(а):
Вспомнилась одна задачка, которую когда-то недоделал , и стало интересно, как же ее все-таки правильно доделать. :oops:
Задачка такая:
Цитата:
Доказать, что характеристический многочлен матрицы $AB$ совпадает с характеристическим многочленом матрицы $BA$.


Может, ничего хитрее прямых вычислений тут и не надо, но эти самые вычисления что-то и не выходят.

P.S. Для бескононечномерных пространств и операторов на них все не так, конечно, $\sigma(AB)  \neq \sigma(BA)$. Например, в пространстве всех многочленов с равномерной нормой на отрезке, с операторами неопределенного интегрирования и дифференциирования. Какой красивый пример подойдет для операторов, действующих в банаховых/гильбертовых пространствах? Причём ограниченных операторов.


$|AB-\lambda E|=|A||B-\lambda A^{-1}|=|B-\lambda A^{-1}||A|=|BA-\lambda E|$ :lol:
Если $|A|=0$ То возьмем близкую к $A$ матрицу $A_\varepsilon,\quad |A_\varepsilon|\ne 0$ такую, что $A_\varepsilon\to A$ при $\varepsilon\to 0$ в какой-нибудь стандартной матричной норме; и перейдем в формуле $|A_\varepsilon B-\lambda E|=|BA_\varepsilon-\lambda E|$ к пределу при $\varepsilon\to 0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2009, 20:41 


06/01/09
231
Что Вы понимаете под определителем оператора в бесконечномерном пространстве? Там и спектр - гораздо более хитрая штука...

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2009, 21:51 


20/04/09
1067
vlad239 в сообщении #211567 писал(а):
Что Вы понимаете под определителем оператора в бесконечномерном пространстве?

а Вы?
vlad239 в сообщении #210974 писал(а):
Теперь возьмите $H=\det(A)$ и возрадуйтесь.

Это во-первых. А во-вторых, я писал про матрицы, где в моем посте написано про оператор в бесконечномерном пространстве?

vlad239 в сообщении #211567 писал(а):
Там и спектр - гораздо более хитрая штука...

Вы это на пятой переcдаче функана осознали и решили мне поведать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2009, 21:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #211588 писал(а):
Это во-первых. А во-вторых, я писал про матрицы, где в моем посте написано про оператор в бесконечномерном пространстве?

Между прочим, Ваше воистину замечательное док-во не сработает для конечных полей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2009, 22:00 


06/01/09
231
Полиномиальная аргументация кстати тоже. Ее придется дополнить еще одним шагом - эти равенства выполнены при вещественных аргументах, поэтому выполнены формально, поэтому выполнены над конечным полем.

Влад.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group