Уравнение с параметром

[juna]

Предлагаю участникам форума решить следующую школьную задачку, по-моему небезынтересную.
При каких $a$ данное уравнение имеет решения (имеется в виду действительные):
$\sqrt{3a+\sqrt{2x+3a-x^2}}=2x-x^2$

[Руст]

Обозначим через y=2x-x^2,0\le y\le 1,b=3a,y^2\ge b$. Выражая b через у получаем: $b=\frac{2y^2+1-\sqrt{4y^2+1}}{2}$ монотонно растёт в зависимости от у. Отсюда получается область значений при которых имеется действительный корень:
$0\le a\le \frac{3-\sqrt 5 }{6}.$

[juna]

Ответ неверен.

[cepesh]

$a \in \{0, \frac13\} ? $

[juna]

Ответ неверен.

[cepesh]

Тогда
$a \in [-\frac{1}{12}, 0]$

[juna]

Это правильный ответ. Имеется красивое решение.

[cepesh]

Ну так давайте Ваше красивое решение. Я лишь исправил ошибочку у Руста. Причем, в процессе сам напортачил

[Руст]

Потерял у, соответственно: $b=\frac{2y^2+1-\sqrt{4y^2+4y+1}}{2}=y^2-y$ принимает значения от 0 до -1/4. Соответственно x от -1/12 до 0. Причём если а принимает не крайние значения имеется ровно 4 различных корня для х.

[juna]

Красивым, на мой взгляд, является следующее решение:
Пусть $2x-x^2=b$, тогда $0\leqslant b \leqslant 1$.
Имеем $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ или $\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+..}}}}=b$ или $\sqrt{3a+b}=b$.
Таким образом, имеем уравнение $b^2-b-3a=0$, учитывая $0\leqslant b \leqslant 1$, параметр $a$ есть функция от $b$ - $a(b)=\frac{b^2-b}{3}$, вершина этой параблы $b=\frac{1}{2}$, которой соответствует $a=-\frac{1}{12}$. Границам интервала $b=0$, $b=1$ соответствует $a=0$. Окончательно, получаем $-\frac{1}{12}\leqslant a\leqslant 0$.

[Руст]

Не вижу разницы. А переход

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Имеем $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ или $\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+..}}}}=b$ или $\sqrt{3a+b}=b$.

вообще говоря неверен. Он верен в данном случае, так как допольнительные корни исходного уравнения комплексные.

[juna]

Давайте обсудим какие значения может принимать выражение вида: $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}$
Я нахожу, что при $b\geqslant{0}$ верно равенство $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$

[Руст]

Например такой переход неверен в этом случае:
$\sqrt{3a-\sqrt{3a-b}}=b$ или $\sqrt{3a-\sqrt{3a-\sqrt{3a-\sqrt{3a-..}}}}=b$ или $\sqrt{3a-b}=b$.

[juna]

Я утверждал, что выражение $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$ верно при $b\geqslant 0$, а у Вас как раз $b=-1$.
В целом корректность перехода нужно конечно обосновывать. Уравнение $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ сводится к $b^4-2ab^2-b+a^2-a=0$, которое может иметь четное число действительных корней - либо нуль, либо два (в нашем случае), либо четыре - тогда мы таким переходом можем не поймать один корень. Но часть правильного диапазона для $a$ мы сможем указать. Поэтому принципиально неверного здесь ничего нет, зато красиво.

[bot]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Красивым, на мой взгляд, является следующее решение: ...

Есть ещё проще.

Руст писал(а):

Обозначим через y=2x-x^2,0\le y\le 1,...

Далее уже устно можно.
Для строго монотонной функции f уравнения f(f(x))=x и f(x)=x равносильны, без разницы в какой области.