предел последовательности

[OhneName]

Необходимо узнать, чему равен такой вот предел:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{\ln(n)}{n}}$$

Все, как я понял, сводится к нахождению $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}}$
Такой предел, как говорит Mathcad, равен 0. Как к этому придти - не могу понять.
Мой вариант - перейти к $\ln(\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n})$
А дальше как-то совсем не идет. Может есть какой-то способ по нахождению $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$?

[id]

Можно по теореме Штольца ( или по Лопиталю ).

[Xaositect]

А можно перейти к $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{2^n}$ и найти отношение следующего к предыдущему.

[Brukvalub]

А можно просто проверить определение.

[OhneName]

Brukvalub писал(а):

А можно просто проверить определение.

В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?

[citadeldimon]

OhneName писал(а):

В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?

Равен 1!!!

[Brukvalub]

OhneName в сообщении #211020 писал(а):

В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?

Не нужно искажать смысл.

[OhneName]

Да, прошу прощения, действительно - равен 1 по определению. Спасибо всем!

[bot]

OhneName в сообщении #211027 писал(а):

Да, прошу прощения, действительно - равен 1 по определению.

Это по какому определению?

[LetsGOX]

bot Судя по всему по второму замечательному перделу

[ShMaxG]

В книжке Фихтенгольца эта задача решается при помощи очевидного неравенства Бернулли

$$ \left( {1 + a} \right)^n > 1 + an $$

при положительных $a$.
Откуда него следует

$$ a^{\frac{1} {n}} - 1 < \frac{{a - 1}} {n} $$

для положительных $a$. Используя это неравенство показывается, что

$$ n^{\frac{1} {n}} \to 1,n \to \infty $$

.