2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 предел последовательности
Сообщение04.05.2009, 21:10 
Необходимо узнать, чему равен такой вот предел:
$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{\ln(n)}{n}}$$
Все, как я понял, сводится к нахождению $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}}$
Такой предел, как говорит Mathcad, равен 0. Как к этому придти - не могу понять.
Мой вариант - перейти к $\ln(\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n})$
А дальше как-то совсем не идет. Может есть какой-то способ по нахождению $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$?

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 21:17 
Можно по теореме Штольца ( или по Лопиталю ).

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 21:46 
Аватара пользователя
А можно перейти к $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{2^n}$ и найти отношение следующего к предыдущему.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 21:47 
Аватара пользователя
А можно просто проверить определение.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 22:48 
Brukvalub писал(а):
А можно просто проверить определение.

В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 22:55 
Аватара пользователя
OhneName писал(а):
В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?


Равен 1!!!

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 22:56 
Аватара пользователя
OhneName в сообщении #211020 писал(а):
В смысле предел $\lim\limits_{n \to \infty} n^\frac{1}{n}$ по определению равен 0?
Не нужно искажать смысл.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 23:25 
Да, прошу прощения, действительно - равен 1 по определению. Спасибо всем!

 
 
 
 
Сообщение05.05.2009, 08:53 
Аватара пользователя
OhneName в сообщении #211027 писал(а):
Да, прошу прощения, действительно - равен 1 по определению.

Это по какому определению? :?

 
 
 
 
Сообщение05.05.2009, 13:18 
bot Судя по всему по второму замечательному перделу

 
 
 
 
Сообщение05.05.2009, 16:23 
Аватара пользователя
В книжке Фихтенгольца эта задача решается при помощи очевидного неравенства Бернулли $$
\left( {1 + a} \right)^n  > 1 + an
$$ при положительных $a$.
Откуда него следует $$
a^{\frac{1}
{n}}  - 1 < \frac{{a - 1}}
{n}
$$
для положительных $a$. Используя это неравенство показывается, что $$
n^{\frac{1}
{n}}  \to 1,n \to \infty 
$$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group