Задачка о группе

[id]

Читал ВАIII Кострикина, наткнулся на задачку ( слегка изменю условие ):

Цитата:

Пусть $G$ - группа, причём для некоторых $a \in G,b\in G,n \in \mathbb{N}:$
$a^3=e, b^{2n-1}=e, aba = ba^2b$
Требуется показать, что $b = e$

Легко заметить, что $b^2a=ab^2$. В самом деле, $b^2a = ba^{-1}aba=ba^{-1}ba^{-1}b = abaa^{-1}b = ab^2$.

Далее, $ab = ba^2ba^2, ba = a^2ba^2b$. Перемножая $ba$ и $ab$ имеем $ba^2b=aba=a^2bab^3a^2$.
Тогда $a^2ba^2 = bab^3$. Умножим последнее тождество слева на тождество $b^2a=ab^2$, имеем $b^3a^2 = ab^3ab^3$. Тогда $ba^2 = abab^3 = ab^3ab=b^2abab$.
Тогда $a^2 = babab = bba^2bb=b^2ab^2a=b^4a^2$

Следовательно, $b^4 = e$. Тогда порядок циклической группы, порожденной элементом $b$, делит 4 и $2n-1$, a значит, $b = e$.

Вроде бы все верно, но оно мне не нравится.
В том же Кострикине советуют непосредственно из $ab^2=b^2a$ доказать, что $ab=ba$, быть может, так проще? Как это сделать, экономнее, чем выше?

[RIP]

Поскольку $a$ и $b^2$ коммутируют, а $b=(b^2)^n$, то $a$ и $b$ коммутируют. Сокращая равенство $aba=ba^2b$ на $a^2b$, получаем $e=b$.

[Профессор Снэйп]

У меня такое решение придумалось.

$aba = ba^2b = (ba)(ab)$
$ab = (ba)^{-1}a(ba)$ и $(ab)^3 = e$
$e = (aba)(bab) = (bab)(aba)$, так как обратный к $aba$ единственен.
$(ba)(ab^2)(ab) = (ba^2b)(bab) = (bab)(ba^2b) = (ba)(b^2a)(ab)$
$b^2a = ab^2$
$ab = ab^{2n} = b^{2n}a = ba$
$ba^2 = aba = ba^2b = b^2a^2$, $b=b^2$ и $b=e$.

Вроде довольно коротко.

Добавлено спустя 5 минут 48 секунд:

Н-да... Равенство $ab^2=b^2a$ у автора темы выводится короче, чем у меня, а с переходом $ab = ab^{2n} = b^{2n}a = ba$ RIP успел опередить.

Лучше, наверное, всё же читать, что написано в теме, прежде чем самому туда писать! С другой строны, если бы я сразу прочитал решение, то вряд ли стал бы после этого изобретать своё. Так что может всё-таки не надо читать?..

[id]

RIP
Профессор Снэйп

Спасибо!
Действительно, и так и так вышло короче и яснее, чем в оригинальном посте.

[Профессор Снэйп]

Я вот пытался сегодня выснить, какой порядок может иметь элемент $b$, если выполняются условия $aba = ba^2b$ и $a^3=e$. В первом сообщении id доказал, что $b^4=e$, так что порядок $b$ должен являться делителем числа $4$. Значит, существует лишь конечное число возможностей для порядков $a$ и $b$, которые могут быть сведены в следующую таблицу:

1 | 1
3 | 1
1 | 2
3 | 2
1 | 4
3 | 4

В первом столбце таблицы даны возможные порядки элемента $a$, а во втором --- элемента $b$. Нужно определить, какие из строчек этой таблицы могут быть реализованы в группах.

Ясно, что первая строчка, подразумевающая равенства $a=b=e$, может быть реализована в любой группе, а вторая --- в любой группе, содержащей элементы порядка $3$. Для третьей и пятой строчек имеем $a=e$ и $b=b^2$, из чего следует что они не могут быть реализованы. Таким образом, имеем следующую информацию:

1 | 1 | да
3 | 1 | да
1 | 2 | нет
3 | 2 | ?
1 | 4 | нет
3 | 4 | ?

Остаётся выяснить, могут ли быть реализованы четвёртая и шестая строчки.

Ответа на этот вопрос я, увы, так и не получил. Однако, анализируя исходняе тождества, пришёл к следующим результатам.

1.

$$ab^2 = b^2a$$

--- доказано в сообщении id.

2.

$$(ab)^3 = (ba)^3 = e$$

и

$$aba = (bab)^{-1}$$

--- указано в моём предыдущем сообщении.

3.

$$ababa = ba^2bba = b^3$$

и

$$babab = (bab)(aba)a^2 = a^2$$

4.

$$(a^2b)^3 = a^2(ba^2b)a^2b = a^2(aba)a^2b = a^2ba^3b = b^2$$

и

$$(ba^2)^3 = b(a^2b)^3b^{-1} = b^2$$

5.

$$(aba)^2 = aba^2ba = a(aba)a = a^2ba^2$$

и

$$(aba)^3 = (a^2ba^2)(aba) = a^2b^2a = b^2$$

6.

$$e = b^4 = (aba)^6 = (a^2ba^2)^3$$

7.

$$(bab)^2 = bab^2ab = b^2(ba^2b) = b^2aba = ab^3a$$

и

$$b^2 = b^{-2} = (aba)^{-3} = (bab)^3 = (ab^3a)(bab) = (ab^3)(ab)^2$$

8.

$$b = a^2(aba)a^2 = a^2ba^2ba^2 = bababab$$

9.

$$(ab)^2 = (ab)^{-1} = b^3a^2$$

и

$$(ba)^2 = (ba)^{-1} = a^2b^3$$

10.

$$ab = (ab)^4 = (b^3a^2)^2 = bb^2a^2b^2ba^2 = (ba^2)^2$$

и

$$ba = (ba)^4 = (a^2b^3)^2 = (a^2b)^2$$

11.

$$a^2b^2 = b^2a^2 = ab^2a = (ab)^4(ba)^4 = (abababab)(babababa) = b^3(bab)^2b^3 = b^3ab^3ab^3$$

12.

$$aba^2 = (ab)(babab) = (ab^2)(ab)^2$$

и

$$a^2ba = (babab)(ba) = (ba)^2(b^2a)$$

13.

$$b^3ab = bab^3 = (bab)b^2 = (bab)(aba)^3 = (aba)^2 = a^2ba^2$$

14.

$$b^3a^2b = ba^2b^3 = bab^2ab = (a^2ba^2)^2 = a^2baba^2 = ab^3a$$

15.

$$a^2b = (babab)b = (ba)^2b^2$$

Может, кто-нибудь и сможет извлечь отсюда что-нибудь ценное. Я пытался доказать $b^2=e$, однако не смог.

[vlad239]

Но ведь в случае $3,2$ соотношение $aba = ba^2b$ дает $(ba^2)^3$=e и равносильно ему. Обозначая $a^2$ за $c$ получаем

$c^3=b^2=(bc)^3=e$

Это соотношения на группу $A_4$. Так что такое возможно.

Влад.

[Профессор Снэйп]

vlad239 писал(а):

Но ведь в случае $3,2$ соотношение $aba = ba^2b$ дает $(ba^2)^3$=e и равносильно ему. Обозначая $a^2$ за $c$ получаем

$c^3=b^2=(bc)^3=e$

Не понял, зачем вводить элемент $c = a^2$. Ведь у нас уже есть равенства $a^3 = b^2 = (ab)^3 = e$.

vlad239 писал(а):

Это соотношения на группу $A_4$. Так что такое возможно.

Влад.

Ну, тут я, к сожалению недостаточно подкован и не могу сказать, какие соотношения определяют группу $A_4$. Но можно попробовать подобрать с ходу нужные перестановки. Которые, к тому же, вовсе не обязаны быть чётными; нам ведь для решения задачи достаточно просто найти пару элементов с нужными свойствами в какой угодно группе.

Полагаем $a = (1,2,3)$ и $b = (1,2)(3,4)$. Формулы $a^3 = e \neq a$ и $b^2 = e \neq b$ очевидны. Теперь $aba = (1,2,3)(1,2)(3,4)(1,2,3) = (1,2,4)$ и $ba^2b = (1,2)(3,4)(1,3,2)(1,2)(3,4) = (1,2,4)$, так что всё окей. В четвёртой строчке таблицы тоже должно стоять "да".

А вот насчёт шестой строчки пока непонятно. Но можно заметить, что в этом случае $(aba)^6 = e$, $(aba)^3 = b^2 \neq e$ и $(aba)^2 = bab^{-1} \neq e$, так что если представление существует, то один из элементов группы имеет порядок $6$, и если пытаться задавать элементы $a$, $b$ перестановками, переставлять придётся не менее пяти элементов.

[vlad239]

Ну я там просто прокрутил Коксетера-Тодда и получил оценку 12 элементов, после чего заметил, что в $A_4$ как раз такие образующие взять можно.

А для последней строчки Maple говорит, что эти соотношения задают группу из 24 элементов. Так что такое тоже может быть. Но я недостаточно владею Maple, чтобы выбить из него ответ - что это за группа.

Влад.