2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка о группе
Сообщение03.05.2009, 02:13 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Читал ВАIII Кострикина, наткнулся на задачку ( слегка изменю условие ):
Цитата:
Пусть $G$ - группа, причём для некоторых $a \in G,b\in G,n \in \mathbb{N}:$
$a^3=e, b^{2n-1}=e, aba =  ba^2b$
Требуется показать, что $b = e$


Легко заметить, что $b^2a=ab^2$. В самом деле, $b^2a = ba^{-1}aba=ba^{-1}ba^{-1}b = abaa^{-1}b = ab^2$.

Далее, $ab = ba^2ba^2, ba = a^2ba^2b$. Перемножая $ba$ и $ab$ имеем $ba^2b=aba=a^2bab^3a^2$.
Тогда $a^2ba^2 = bab^3$. Умножим последнее тождество слева на тождество $b^2a=ab^2$, имеем $b^3a^2 = ab^3ab^3$. Тогда $ba^2 = abab^3 = ab^3ab=b^2abab$.
Тогда $a^2 = babab = bba^2bb=b^2ab^2a=b^4a^2$

Следовательно, $b^4 = e$. Тогда порядок циклической группы, порожденной элементом $b$, делит 4 и $2n-1$, a значит, $b = e$.

Вроде бы все верно, но оно мне не нравится.
В том же Кострикине советуют непосредственно из $ab^2=b^2a$ доказать, что $ab=ba$, быть может, так проще? Как это сделать, экономнее, чем выше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 04:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Поскольку $a$ и $b^2$ коммутируют, а $b=(b^2)^n$, то $a$ и $b$ коммутируют. Сокращая равенство $aba=ba^2b$ на $a^2b$, получаем $e=b$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 04:52 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
У меня такое решение придумалось.

$aba = ba^2b = (ba)(ab)$
$ab = (ba)^{-1}a(ba)$ и $(ab)^3 = e$
$e = (aba)(bab) = (bab)(aba)$, так как обратный к $aba$ единственен.
$(ba)(ab^2)(ab) = (ba^2b)(bab) = (bab)(ba^2b) = (ba)(b^2a)(ab)$
$b^2a = ab^2$
$ab = ab^{2n} = b^{2n}a = ba$
$ba^2 = aba = ba^2b = b^2a^2$, $b=b^2$ и $b=e$.

Вроде довольно коротко.

Добавлено спустя 5 минут 48 секунд:

Н-да... Равенство $ab^2=b^2a$ у автора темы выводится короче, чем у меня, а с переходом $ab = ab^{2n} = b^{2n}a = ba$ RIP успел опередить.

Лучше, наверное, всё же читать, что написано в теме, прежде чем самому туда писать! С другой строны, если бы я сразу прочитал решение, то вряд ли стал бы после этого изобретать своё. Так что может всё-таки не надо читать?..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 13:23 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
RIP
Профессор Снэйп

Спасибо!
Действительно, и так и так вышло короче и яснее, чем в оригинальном посте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 21:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Я вот пытался сегодня выснить, какой порядок может иметь элемент $b$, если выполняются условия $aba = ba^2b$ и $a^3=e$. В первом сообщении id доказал, что $b^4=e$, так что порядок $b$ должен являться делителем числа $4$. Значит, существует лишь конечное число возможностей для порядков $a$ и $b$, которые могут быть сведены в следующую таблицу:

1 | 1
3 | 1
1 | 2
3 | 2
1 | 4
3 | 4

В первом столбце таблицы даны возможные порядки элемента $a$, а во втором --- элемента $b$. Нужно определить, какие из строчек этой таблицы могут быть реализованы в группах.

Ясно, что первая строчка, подразумевающая равенства $a=b=e$, может быть реализована в любой группе, а вторая --- в любой группе, содержащей элементы порядка $3$. Для третьей и пятой строчек имеем $a=e$ и $b=b^2$, из чего следует что они не могут быть реализованы. Таким образом, имеем следующую информацию:

1 | 1 | да
3 | 1 | да
1 | 2 | нет
3 | 2 | ?
1 | 4 | нет
3 | 4 | ?

Остаётся выяснить, могут ли быть реализованы четвёртая и шестая строчки.

Ответа на этот вопрос я, увы, так и не получил. Однако, анализируя исходняе тождества, пришёл к следующим результатам.

1. $$ab^2 = b^2a$$ --- доказано в сообщении id.

2. $$(ab)^3 = (ba)^3 = e$$ и $$aba = (bab)^{-1}$$ --- указано в моём предыдущем сообщении.

3. $$ababa = ba^2bba = b^3$$ и $$babab = (bab)(aba)a^2 = a^2$$

4. $$(a^2b)^3 = a^2(ba^2b)a^2b = a^2(aba)a^2b = a^2ba^3b = b^2$$ и $$(ba^2)^3 = b(a^2b)^3b^{-1} = b^2$$

5. $$(aba)^2 = aba^2ba = a(aba)a = a^2ba^2$$ и $$(aba)^3 = (a^2ba^2)(aba) = a^2b^2a = b^2$$

6. $$e = b^4 = (aba)^6 = (a^2ba^2)^3$$

7. $$(bab)^2 = bab^2ab = b^2(ba^2b) = b^2aba = ab^3a$$ и $$b^2 = b^{-2} = (aba)^{-3} = (bab)^3 = (ab^3a)(bab) = (ab^3)(ab)^2$$

8. $$b = a^2(aba)a^2 = a^2ba^2ba^2 = bababab$$

9. $$(ab)^2 = (ab)^{-1} = b^3a^2$$ и $$(ba)^2 = (ba)^{-1} = a^2b^3$$

10. $$ab = (ab)^4 = (b^3a^2)^2 = bb^2a^2b^2ba^2 = (ba^2)^2$$ и $$ba = (ba)^4 = (a^2b^3)^2 = (a^2b)^2$$

11. $$a^2b^2 = b^2a^2 = ab^2a = (ab)^4(ba)^4 = (abababab)(babababa) = b^3(bab)^2b^3 = b^3ab^3ab^3$$

12. $$aba^2 = (ab)(babab) = (ab^2)(ab)^2$$ и $$a^2ba = (babab)(ba) = (ba)^2(b^2a)$$

13. $$b^3ab = bab^3 = (bab)b^2 = (bab)(aba)^3 = (aba)^2 = a^2ba^2$$

14. $$b^3a^2b = ba^2b^3 = bab^2ab = (a^2ba^2)^2 = a^2baba^2 = ab^3a$$

15. $$a^2b = (babab)b = (ba)^2b^2$$

Может, кто-нибудь и сможет извлечь отсюда что-нибудь ценное. Я пытался доказать $b^2=e$, однако не смог.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 22:55 


06/01/09
231
Но ведь в случае $3,2$ соотношение $aba = ba^2b$ дает $(ba^2)^3$=e и равносильно ему. Обозначая $a^2$ за $c$ получаем

$c^3=b^2=(bc)^3=e$

Это соотношения на группу $A_4$. Так что такое возможно.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 05:54 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
vlad239 писал(а):
Но ведь в случае $3,2$ соотношение $aba = ba^2b$ дает $(ba^2)^3$=e и равносильно ему. Обозначая $a^2$ за $c$ получаем

$c^3=b^2=(bc)^3=e$


Не понял, зачем вводить элемент $c = a^2$. Ведь у нас уже есть равенства $a^3 = b^2 = (ab)^3 = e$.

vlad239 писал(а):
Это соотношения на группу $A_4$. Так что такое возможно.

Влад.


Ну, тут я, к сожалению недостаточно подкован и не могу сказать, какие соотношения определяют группу $A_4$. Но можно попробовать подобрать с ходу нужные перестановки. Которые, к тому же, вовсе не обязаны быть чётными; нам ведь для решения задачи достаточно просто найти пару элементов с нужными свойствами в какой угодно группе.

Полагаем $a = (1,2,3)$ и $b = (1,2)(3,4)$. Формулы $a^3 = e \neq a$ и $b^2 = e \neq b$ очевидны. Теперь $aba = (1,2,3)(1,2)(3,4)(1,2,3) = (1,2,4)$ и $ba^2b = (1,2)(3,4)(1,3,2)(1,2)(3,4) = (1,2,4)$, так что всё окей. В четвёртой строчке таблицы тоже должно стоять "да".

А вот насчёт шестой строчки пока непонятно. Но можно заметить, что в этом случае $(aba)^6 = e$, $(aba)^3 = b^2 \neq e$ и $(aba)^2 = bab^{-1} \neq e$, так что если представление существует, то один из элементов группы имеет порядок $6$, и если пытаться задавать элементы $a$, $b$ перестановками, переставлять придётся не менее пяти элементов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 17:04 


06/01/09
231
Ну я там просто прокрутил Коксетера-Тодда и получил оценку 12 элементов, после чего заметил, что в $A_4$ как раз такие образующие взять можно.

А для последней строчки Maple говорит, что эти соотношения задают группу из 24 элементов. Так что такое тоже может быть. Но я недостаточно владею Maple, чтобы выбить из него ответ - что это за группа.

Влад.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group