Помогите разобраться (дефференциальные уравнения)

[rar]

Вот кусочек примера из книги:

Решить уравнение

$$y'=\frac{y}{x}+\cos{\frac{y}{x}}$$

.

Положим

$$\frac{y}{x}=u$$

, или

$$y=ux$$

. Тогда

$$y'=u+x\frac{du}{dx}$$

, что после подстановки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными

$$x\frac{du}{dx}=\cos{u}$$

.

Вопрос. С чего это

$$x\frac{du}{dx}$$

равно

$$\cos{u}$$

?

Разделяем переменные:

$$\frac{du}{\cos{u}}=\frac{dx}{x}$$

и интегрируем:

$$\tg{\left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=Cx$$

Вопрос. Почему

$$C$$

умножить на

$$x$$

?

ну и т.д.

[AD]

rar в сообщении #210731 писал(а):

С чего это

$$x\frac{du}{dx}$$

равно

$$\cos{u}$$

?

rar в сообщении #210731 писал(а):

после подстановки в исходное уравнение

Ну подставьте и проверьте.

rar в сообщении #210731 писал(а):

Почему

$$C$$

умножить на

$$x$$

?

rar в сообщении #210731 писал(а):

интегрируем:

Проинтегрируйте и проверьте. Там справа $\ln x+C=\ln Cx$, только с другой $C$, и потом типа экспоненту взяли. Хотя тут мне левая часть тоже кажется подозрительной - как будто от нее не взяли. Да и вообще чего-то не верится.

[RIP]

rar в сообщении #210731 писал(а):

Вопрос. С чего это

$$x\frac{du}{dx}$$

равно

$$\cos{u}$$

?

Ну там же написано:

rar в сообщении #210731 писал(а):

после подстановки в исходное уравнение

Смысл примерно такой. Вы меняете функцию, $y$ заменяете на $u$. Вам нужно понять, какому условию должна удовлетворять функция $u$, чтобы $y$ было решением исходного уравнения. Как это сделать? Да очень просто: надо в исходном уравнении каждое появление $y$ заменить соответствующим выражением через $u$ и $x$ (не знаю, как это по-человечески сказать). Если Вы это сделаете, то после очевидных упрощений получите требуемое.

Добавлено спустя 3 минуты 29 секунд:

И ещё. Очень Вас прошу: пишите слово "дифференциальные" правильно.

[AD]

RIP в сообщении #210738 писал(а):

пишите слово "дифференциальные" правильно.

А вот в солидной книге С. Сакса "Теория интеграла" это слово пишется с одной "ф"

[rar]

RIP писал(а):

Смысл примерно такой. Вы меняете функцию, $y$ заменяете на $u$. Вам нужно понять, какому условию должна удовлетворять функция $u$, чтобы $y$ было решением исходного уравнения. Как это сделать? Да очень просто: надо в исходном уравнении каждое появление $y$ заменить соответствующим выражением через $u$ и $x$ (не знаю, как это по-человечески сказать). Если Вы это сделаете, то после очевидных упрощений получите требуемое.

Ну еже ли я подставлю

$$u=y/x$$

в

$$x\frac{du}{dx}$$

, то, почему-то получается

$$-y/x$$

вместо

$$\cos{\frac{y}{x}}$$

.

[AD]

rar в сообщении #210747 писал(а):

Ну еже ли я подставлю

А Вы подставляйте то, что сказано, туда, куда сказано. Да, и не забывайте, что $y$ - не независимая переменная, а тоже функция от $x$.