Часы

[bot]

Задача нигде не была, но всё-таки засвечена, поэтому выложить не жалко.

Имеем часы с центральной секундной стрелкой. Все стрелки движутся абсолютно равномерно. Какова вероятность того, что при взгляде на часы мы обнаружим, что секундная стрелка ближе к минутной, чем к часовой?

ЗЫ. Лучше сразу начинать со случая "марсианских часов" (или трёх бегунов на круговой дистанции) с соотношением скоростей стрелок $\frac{1}{n} : 1 : k$, где $n$ и $k$ - натуральные.

[bot]

Сдаюсь - похоже не оправдалась моя слабая надежда, что кто-нибудь найдёт решение, минуя лишнюю единицу.

[sergey1]

Угол больше там, где больше хорда. Записал в параметрическом виде координаты концов стрелок и нашел длины хорд как функции от времени. Получил тригонометрическое неравенство, попробую решить.

[vita]

1) рассматриваем 12-часовой цикл;
2) фиксируем неподвижно секундную стрелку, в этом случае
w'1=2*pi/60-2*pi (минутная)
w'2=2*pi/(60*24)-2*pi (часовая угловая скорость)
часы стали крутится в др. сторону
3) видим, что для полного периода

T1'*n=T2'*m

4) n/m=708/719
5) считаем площадь часового pi- вершинного треугольника (S_ch)
6) считаем площадь минутного pi-вершинного треугольника(S_min)
7) сравниваем S_ch*m и S_min*n, получаем кто победил
__________
нет, неправильно , особенно 4-7

[Sasha2]

Ребята, а если попроще рассуждать, примерно так: искомая вероятность равна отношению 24 часов ко времени, когда секундная стрелка ближе, ну к примеру к минутной (или к часовой, потом понятно бцдет, что это без разницы). Минутная и часовая стрелка в каждую минуту образую один и тот же центральный угол, а секундная стрелка в пределах этой минуты при движении по циферблату занимает в одну секунду положение ближе к одной из них, а через 30 секунд, (т.е. когда образут прямую линию уже наоборот ближе к другой) (Надеюсь, что это элементарное соображение вполне очевидно, но если не очевидно, то можете сделать чертеж и сравнить два угла, исходя из их суммы в 180 градусов).
Вывод: Искомя вероятность равна 1/2 или 50%.
Более того, ясно, что этот вывод справедлив и для любой длительности суток и для любой скорости движения минутных, секундных и часовых стрелок (Это по марсианским часам). А вообще, если чуть чуть переформулировать эту задачу, то можно детям в 3 классе задавать.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Ребята, а если попроще рассуждать, примерно так: искомая вероятность равна отношению 24 часов ко времени, когда секундная стрелка ближе, ну к примеру к минутной (или к часовой, потом понятно бцдет, что это без разницы). Минутная и часовая стрелка в каждую минуту образую один и тот же центральный угол, а секундная стрелка в пределах этой минуты при движении по циферблату занимает в одну секунду положение ближе к одной из них, а через 30 секунд, (т.е. когда образут прямую линию уже наоборот ближе к другой) (Надеюсь, что это элементарное соображение вполне очевидно, но если не очевидно, то можете сделать чертеж и сравнить два угла, исходя из их суммы в 180 градусов).
Вывод: Искомя вероятность равна 1/2 или 50%.
Более того, ясно, что этот вывод справедлив и для любой длительности суток и для любой скорости движения минутных, секундных и часовых стрелок (Это по марсианским часам). А вообще, если чуть чуть переформулировать эту задачу, то можно детям в 3 классе задавать.

Вероятность в 50 процентов не верна. Правильный ответ, вероятность больше быть к минутной стрелке. По всей видимости не учтено, что часовая стрелука тоже движется. Вообще советую сначала определить период, т.е. два времени, между которыми возможны все положения

[Sasha2]

Нет ну, конечно, я решал в предположении, что смещение минутной и часовой стрелок происходит только в момент, когда секндная пересекает отметку 12. (По моему так работают реальные часы)

[Capella]

Тогда не совсем понятно, что Вы подразумеваете под скоростью движения стрелок - неужто прыжок с одного деления на другое и как понимать тогда любую скорость

[Sasha2]

Ну хорошо допустим даже, что эти стрелки (часовая и минутная двигаются и в пределах минуты). Но тогда для любого их взаимного расположения (уже в пределах суток), найдется точно такое же симметричное расположение (просто когда они образуют вертикальные углы), и если в первый момент она удаляется, то во второй уже приближается, и снова все встает на свои места.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Ну хорошо допустим даже, что эти стрелки (часовая и минутная двигаются и в пределах минуты). Но тогда для любого их взаимного расположения (уже в пределах суток), найдется точно такое же симметричное расположение (просто когда они образуют вертикальные углы), и если в первый момент она удаляется, то во второй уже приближается, и снова все встает на свои места.

Ну во первых достаточно рассмотреть период 12 часов. А во вторых Ваше предположение хоть и выглядит логичным, но неправильно Вы можете проверить сами.

[Sasha2]

А что тут непонятного, ну посмотрите на обычные часы, как они идут, плавно или рывками, хотя ответ от этого не меняется.

[Capella]

А где я писала, что что-то "непонятно"? Я писала, что "неправильно"

[Sasha2]

Тогда и ставьте задачу именно таким образом (ведь если Вы утверждаете это, то хотя бы указывайте, какие 12 часов Вы имеет в виду, если сами соглашаетсь, что ответ будет зависеть от этого фактора, а что вот бедному школьнику делаать, когда даже в такой задаче, оказывается столько ньюансов), а исходя из ее условия, ответ дан правильный. Я вообще замечаю, что очень часто даже школьные задачи трудны не сами по себе, а трудны в том, что их ставят не совсем корректно, и их не рашать приходится, а думать, что же от тебя хотят.

[Capella]

Да задача поставлена корректно. Возьмите любые 12 часов (ну например с 12:00:00 до 00:00:00) - суть от этого не измениться. Кроме того, задача не так проста

[Sasha2]

Задача может в такой постановке считаться поставленной корректно, если ответ не будет зависеть от периода наблюдения (это тоже кстати надо показать), если же это не так, то тогда нужно указывать конкретный период времени.