2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аксиома выбора
Сообщение29.04.2009, 19:18 


15/04/09
9
Может ли кто-нибудь объяснить, в чём смысл аксиомы выбора? Ведь её утверждение очевидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Арианна в сообщении #209570 писал(а):
Может ли кто-нибудь объяснить, в чём смысл аксиомы выбора? Ведь её утверждение очевидно.

Утверждения остальных аксиом ZFC еще более очевидны.

А смысл претензий к аксиоме выбора в том, что она не дает способа построения выбирающей функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 19:28 


30/01/09
194
И для бесконечного семейства множеств очевидна?
А пятый постулат Евклида тоже очевиден?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 19:51 
Экс-модератор


17/06/06
5004
А парадокс Банаха-Тарского тоже очевиден? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 19:58 


20/07/07
834
Для бесконечного семейства множеств она далеко не очевидна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
Все утверждения о бесконечных множествах неочевидны.
Потому что бесконечных множеств в природе не бывает, а значит, у нас не может быть доматематического опыта работы с ними :D
Вот, например, утверждение, что бесконечное множество может быть равномощно своей части, для меня никак не менее парадоксально, чем конструкция Банаха-Тарского.
А для конечных множеств аксиома выбора не то, что очевидна, она даже верна (выводится из остальных аксиом).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 22:08 


12/04/09
44
worm2 писал(а):
Вот, например, утверждение, что бесконечное множество может быть равномощно своей части, для меня никак не менее парадоксально, чем конструкция Банаха-Тарского.

Вот в этом-то и есть часть психологической проблемы. «…бесконечное множество может быть равномощно своей части, для меня никак не менее парадоксально…». Это парадоксально, но легко демонстрируется. А в случае аксиомы выбора результат совпадает с «нашими чаяниями», но, конечно, неочевиден.

worm2 писал(а):
А для конечных множеств аксиома выбора не то, что очевидна, она даже верна (выводится из остальных аксиом).

О каких конечных множествах Вы говорите? Что конечно? Множества, из которых выбирают или совокупность этих множеств? Если множества, из которых выбирают, то это ошибка. Вспомните пример Рассела с носками. Если же Вы имеете в виду совокупность этих множеств, то Вы правы. Но здесь у меня вопрос: как известно, одна из проблем с аксиомой выбора в неконструктивности и как результат мы никогда не уверены, если проведены две выборки, что они совпадут. Но в случае одного, но бесконечного множества аксиома выбора не нужна, а проблема несовпадения остается. Как с этим быть? И второе Френкель пишет, что есть доказательство возможности выбора из одного бесконечного множества единичного множества (конечно, без аксиомы выбора), но не приводит его. Может кто-нибудь расскажет, где посмотреть или приведёт это доказательство?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
AD писал(а):
А парадокс Банаха-Тарского тоже очевиден? :roll:

А почему он должен быть очевиден? В математике много неочевидных теорем.
P.S. Лично я не вижу ничего парадоксального в этом парадоксе (в том смысле, что это утверждение не противоречит моей интуиции).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 08:59 
Экс-модератор


17/06/06
5004
RIP в сообщении #209639 писал(а):
А почему он должен быть очевиден? В математике много неочевидных теорем.
Ну как бы я хотел выразить (и, наверное, не получилось) такую мысль, что далеко не все утверждения, получающиеся из аксиомы выбора, настолько же не противоречат интуиции, как и она сама в своих простейших и безобидных формулировках.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Из аксиомы выбора следует, что каждое множество можно вполне упорядочить. Пытался упорядочить множество объектов в своей комнате. Не получилось даже частичного порядка. Засомневался в аксиоме выбора.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
inf76 писал(а):
worm2 писал(а):
А для конечных множеств аксиома выбора не то, что очевидна, она даже верна (выводится из остальных аксиом).

О каких конечных множествах Вы говорите? Что конечно? Множества, из которых выбирают или совокупность этих множеств?

Я имел в виду, что всё должно быть конечно: и сами множества, и их количество. Тогда совпадение со здравым смыслом будет полным :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
мат-ламер писал(а):
Из аксиомы выбора следует, что каждое множество можно вполне упорядочить. Пытался упорядочить множество объектов в своей комнате. Не получилось даже частичного порядка. Засомневался в аксиоме выбора.

Вряд ли это может служить поводом для сомнений, ибо для конечных множеств аксиома выбора следует из остальных аксиом.
А если у Вас в комнате бесконечное число объектов, тогда неудивительно, что не удалось их упорядочить за конечное время.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 17:31 


12/04/09
44
worm2 писал(а):
inf76 писал(а):
worm2 писал(а):
А для конечных множеств аксиома выбора не то, что очевидна, она даже верна (выводится из остальных аксиом).

О каких конечных множествах Вы говорите? Что конечно? Множества, из которых выбирают или совокупность этих множеств?

Я имел в виду, что всё должно быть конечно: и сами множества, и их количество. Тогда совпадение со здравым смыслом будет полным :)

Если всё конечно, то Вы, конечно, правы. Но если конечны только сами множества (а совокупность этих множеств бесконечна), то аксиома необходима. Вот пример Рассела. Можно ли счётное множество пар туфель сопоставить взаимно однозначно множеству этих самых туфель? Да, можно и без аксиомы выбора. Левую туфлю первой пары сопоставим первой паре, правую туфлю первой пары - второй паре, левую туфлю второй пары сопоставим третьей паре и т. д. А теперь проделаем тоже самое с парами носков и без аксиомы выбора жизни нет. Носки в паре неразличимы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 19:33 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Хорхе в сообщении #209728 писал(а):
А если у Вас в комнате бесконечное число объектов, тогда неудивительно, что не удалось их упорядочить за конечное время.
Ну если их счетное число, то надо просто упорядочивать каждый следующий в два раза быстрее предыдущего :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.04.2009, 19:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AD в сообщении #209852 писал(а):
Ну если их счетное число, то надо просто упорядочивать каждый следующий в два раза быстрее предыдущего

Это противоречит конечности скорости света (ну в смысле скорости распространения любого сигнала).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group