Полиномы с коэффициентом

[Мат]

Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

1. При $n>2$ они не могут быть простыми числами (если $n$ - нечетно).
2. Каждый их множитель $m$ такой, что $x+y$ не делит $m$ обладает свойством $m=2kn+1$
3. Следовательно, их множителями могут быть лишь простые числа, большие $n$.

А что вы можете сказать о полиномах с коэффициентом:

$$x^n+ky^n$$

?

Теорема:
Всякий множитель любого полинома с коэффициентом при $n>2$ - простое. Является простым числом большим $n$. Т.е. никакой полином с коэффициентом

$$x^n+ky^n$$

не может иметь простых множителей, меньших $n$.
Либо на него делится одна из форм:
1. $x+k^py$
2. $k^px+y$
где $p<log_2n$

Т.е. никакой полином с коэффициентом $x^n+ky^n$ не может иметь простых множителей, меньших $n$, если на него не делится ни одна из указанных форм.

[Brukvalub]

Мат в сообщении #209183 писал(а):

Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

1. При $n>2$ они не могут быть простыми числами.

А мужики-то не знают... Вот до сих пор и думают, что

\[1^5 + 1^5 = 2\]

- простое число....

[Nilenbert]

Мат писал(а):

Т.е. никакой полином с коэффициентом

$$x^n+ky^n$$

не может иметь простых множителей, меньших $n$.

Хм, $2^{10}+3\cdot 3^{10}=7\cdot 25453$, а $7<10$

[Мат]

Nilenbert
Вот тут два вопроса:
1. $k=y$, т.е. $2^{10}+3\cdot3^{10}=2^{10}+3^{11}$, а это немножко не то.
2. Если все три числа нечетны, то в любом случае такой полином будет делиться на два, т.к. сумма двух нечетных чисел всегда четна.

Поэтому все множители данных полиномов делятся на два вида:
а) первые, которые я сказал
б) вторые - любые множители.
Но как осуществить разделение на классы, пока сказать не могу.

[Коровьев]

Мат писал(а):

Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

1. При $n>2$ они не могут быть простыми числами.
2. Каждый их множитель $m$ такой, что $x+y$ не делит $m$ обладает свойством $m=2kn+1$
3. Следовательно, их множителями могут быть лишь простые числа, большие $n$.

А что вы можете сказать о полиномах с коэффициентом:

$$x^n+ky^n$$

?
Теорема:
Всякий множитель любого полинома с коэффициентом при $n>2$ - простое. Является простым числом большим $n$. Т.е. никакой полином с коэффициентом

$$x^n+ky^n$$

не может иметь простых множителей, меньших $n$.

"Теорема" - несусветная чушшь.
${98762345332}^1^3+3*{12376544666}^1^3$
делится на $5$, а оно меньше $13$. Проверьте.
Если надо, настругаю для любого показателя.

Да и спервым высказыванием поаккуратней. Оно верно, только если показатель простое число.

[Nilenbert]

Мат писал(а):

1. $k=y$, т.е. $2^{10}+3\cdot3^{10}=2^{10}+3^{11}$, а это немножко не то.

Ну тогда $2^{10}+3\cdot 10^{10}=7\cdot 4285714432$

[Someone]

Мат в сообщении #209183 писал(а):

Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

1. При $n>2$ они не могут быть простыми числами.

$1^{32}+30^{32}=185302018885184100000000000000000000000000000001$,
$1009^{32}+1014^{32}=2892363341100957106701618221414469788174044723004404149558720527661036062099320334340719519755777$,
$1^{64}+102^{64}$, $1016^{64}+1021^{64}$, $1^{128}+120^{128}$ и $996^{128}+1013^{128}$ - простые.

[Мат]

Someone
Соответствующие изменения внес в текст: $n$ - нечетно или простое.

Добавлено спустя 5 минут 50 секунд:

Nilenbert
Коровьев

Внесены корректировки:
Полином с коэффициентом $x^n+ky^n$ может иметь простые множители, меньшие $n$, только те, на которые делится одна из форм:
1.$x+ky$, $x+k^2y$,..., $x+k^py$ и т.д., где $p<n/2$
2.$kx+y$, $k^2x+y$,..., $k^px+y$ и т.д., где $p<n/2$

[Brukvalub]

Мат в сообщении #209183 писал(а):

Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

1. При $n>2$ они не могут быть простыми числами (если $n$ - нечетно).

Бред бредовый стелется бреднем по броду!

Brukvalub в сообщении #209190 писал(а):

А мужики-то не знают... Вот до сих пор и думают, что

\[1^5 + 1^5 = 2\]

- простое число....

Может, хватит развлекать народ своими бреднями?

[Мат]

Brukvalub
Если вы еще приведете хотя бы один пример, то я напишу письмо, чтобы вам дали Нобелевку.

[AD]

А мне можно тоже нобелевку?
$1^7+1^7=2$

[Brukvalub]

Мат в сообщении #209499 писал(а):

Brukvalub
Если вы еще приведете хотя бы один пример, то я напишу письмо, чтобы вам дали Нобелевку.

Меня вполне устроит, если вы перестанете пороть на форуме чушь, а уж без Нобелевки я как-нибудь обойдусь.

[Мат]

Brukvalub
А меня вполне устроит еще один пример, кроме $1^n+1^n$.

Добавлено спустя 46 секунд:

AD
Держите:

Это Нобелевка. За продвижение величайшей идеи Brukvalub, что $x^n+x^n$ может быть простое для любых $n$, при $x=1$.

[Лиля]

Мат в сообщении #209516 писал(а):

Brukvalub
А меня вполне устроит еще один пример, кроме $1^n+1^n$.

$5^3+6^3=341$

[Мат]

Лиля
$341=11\cdot31$