Иррациональные числа

[Bolopak]

Проверьте пожалуйста.
Пусть $a*b=c$.
$a \epsilon \mathbb I$ - иррациональное число
$b \epsilon \mathbb R$ - вещественное число
$*$ - операция умножения
Значит, $c \epsilon \mathbb I$.
Потому что $a$ можно представить в виде: $a=\sqrt{n}$, где $n \epsilon \mathbb N$ и $n$ не является полным квадратом.
Тогда $b*a=\sqrt{n*b^2}$. А $\sqrt{n*b^2}$ является иррациональным потому что $n*b^2 \epsilon \mathbb N$ и $n*b^2$ не является полным квадратом.
Верны ли мои рассуждения?
Спасибо.
З.Ы. если верны, то $\mathbb I[x]$ - идеал в кольце полиномов с вещественными коэффициентами $\mathbb R[x]$

[mkot]

Bolopak писал(а):

Проверьте пожалуйста.
Пусть $a*b=c$.
$a \epsilon \mathbb I$ - иррациональное число
....
Потому что $a$ можно представить в виде: $a=\sqrt{n}$, где $n \epsilon \mathbb N$ и $n$ не является полным квадратом.

Представьте в таком виде $\pi$.

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Bolopak писал(а):

З.Ы. если верны, то $\mathbb I[x]$ - идеал в кольце полиномов с вещественными коэффициентами $\mathbb R[x]$

$0 \not\in \mathbb{I}[x]$, т. к. не является рациональным, следовательно...

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

И вообще
из $a \in \mathbb{I}$, $b \in \mathbb{R}$ не следует, что $a \cdot b \in \mathbb{I}$.
Например, $a = \sqrt{2}$, $b = 0$, $a\cdot b = 0 \not\in \mathbb{I}$,
$a = \sqrt{2}$, $ b = \sqrt{2}$, $a\cdot b = 2 \not\in \mathbb{I}$.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Вы точно под $\mathbb{R}$ понимаете множество вещественных чисел,
а под $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ -- множество иррациональных?

[Bolopak]

mkot писал(а):

$0 \not\in \mathbb{I}[x]$, т. к. не является рациональным, следовательно...

Вроде как 0 является рациональным. Тогда понятно почему $\mathbb I[x]$ - не идеал кольца $\mathbb R[x]$
Эх, вы разбили моё предположение в пух и прах...

mkot писал(а):

Вы точно под $\mathbb{R}$ понимаете множество вещественных чисел,
а под $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ -- множество иррациональных?

Точно. Рациональные числа можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m,n \in \mathbb Z$ а иррациональные - нет. $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

Добавлено спустя 1 час 2 минуты 58 секунд:

Ого! Кажется, мне удалось наконец-то найти идеал $\mathbb R[x]$
Это же {$n\cdot \mathbb R[x]$}, $n \in \mathbb R$
Вроде похоже на правду?

[mkot]

Bolopak писал(а):

mkot писал(а):

$0 \not\in \mathbb{I}[x]$, т. к. не является рациональным, следовательно...

Вроде как 0 является рациональным. $[/math]

Это опечатка. Формулу написал-то правильно ($0 \not\in \mathbb{I}[x]$), а словами написал не верно.

Цитата:

Ого! Кажется, мне удалось наконец-то найти идеал $\mathbb R[x]$
Это же {$n\cdot \mathbb R[x]$}, $n \in \mathbb R$
Вроде похоже на правду?

К сожалению не похоже. Это конечно идеал, но он совпадает с $\mathbb{R}[x]$ по той простой причине, что $n\cdot \mathbb{R} = \mathbb{R}$, понятно почему?

Вроде как в другой теме я вам указывал (или не вам?) как искать. Нужно взять МНОГОЧЛЕН, пусть для определённости это будет $f$. И рассмотреть множество
$\{g \in \mathbb{R} : f | g\}$, где $|$ -- означает отношение делимости.
Проверьте, что это множество является подкольцом кольца $\mathbb{R}[x]$, затем проверьте является ли оно идеалом.

[Bolopak]

mkot писал(а):

Вроде как в другой теме я вам указывал (или не вам?) как искать. Нужно взять МНОГОЧЛЕН, пусть для определённости это будет $f$. И рассмотреть множество
$\{g \in \mathbb{R} : f | g\}$, где $|$ -- означает отношение делимости.

Ага, мне.
Вот беру, к примеру, $f=2x^4+\sqrt{2}\cdot x$.
Рассматриваю множество: {$1, x, 2x^3+\sqrt{2} $}. Пытаюсь сделать из него подкольцо:
{$0, 1, x, 2x^3+\sqrt{2}, 1+x, 2x^3+x+\sqrt{2}, 4x^3+2x+2\sqrt{2}, ... $} В-общем, оно бесконечно и не похоже на идеал.
Так что же: мне теперь другое $f$ брать? их же бесконечно много и вероятность того, что я выберу правильное $f$ стремится к $0$!
Если же брать не конкретный $f$, а в общем виде, получается, что он описывает всеговозможные полиномы из $R[x]$.

[mkot]

$f \,|\, g$ означает, что $g = f \cdot h$, где $h \in \mathbb{R}[x]$.