Помогите найти сумму ряда обратных квадратов: \sum 1/n^2

[Verum]

$$\[ \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1} {{n^2 }}} \]$$

Попробовал воспользоваться рядом,

$$\[ \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1} {{n^2 }}} \cdot x^n \]$$

Продифференцировал и получил

$$\[ S'(x) = - \frac{{\ln (1 - x)}} {x} \]$$

А вот найти сумму исходного ряда не могу(( не могу найти этот интеграл :(

[gris]

А он не берётся в элементарных. Определённый интеграл можно через вычеты посчитать. Рассмотрите подинтегральное выражение для комплексного $t$, разберитесь с ветвями логарифма и полюсами.

Только этот ряд ещё Эйлер считал и по другому.

[Хорхе]

Можно несколькими способами - кроме означенного grisом, еще есть способ с рядами Фурье и (наверное, самый "элементарный") способ через двойной интеграл $\int_{[0,1]^2}\frac{1}{1-xy}dx\,dy$.

Тут оба способа довольно дотошно описаны (правда, на английском, но понять формулы можно на любом языке).

[gris]

"Ряд из обратных квадратов" довольно популярный. Есть десятка два способов его вычисления. Если погуглить именно по этим словам или по "сумма обратных квадратов", то наверняка найдутся целые сборники решений.

[Taras]

а мне так нравится
$\sin x =x \left(1-\frac {x^2} {\pi^2} \right) \left(1-\frac{x^2} {2^2 \pi^2} \right) \cdot...$
$\sin x=x-\frac{x^3} {3!} +\frac{x^5} {5!}-...$
Приравниваем коефициенты при $x^3$ получаем то, что хотим

[ASA]

$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ - дзета-функция Римана и, кажется, $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$.

Добавлено спустя 15 минут 25 секунд:

Хорхе, оказывается, уже дал ссылку.

[LetsGOX]

Verum А эта штука случайно никак не выражается через замечательные пределы?

[bundos]

Используйте равентво Парсеваля для функции $f(x)=\frac{\pi -x}{2}$.