2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти сумму ряда обратных квадратов: \sum 1/n^2
Сообщение28.04.2009, 14:22 
$$\[
\sum\limits_{i = 1}^\infty  {\frac{1}
{{n^2 }}} 
\]$$

Попробовал воспользоваться рядом,
$$\[
\sum\limits_{i = 1}^\infty  {\frac{1}
{{n^2 }}}  \cdot x^n 
\]$$

Продифференцировал и получил

$$\[
S'(x) =  - \frac{{\ln (1 - x)}}
{x}
\]$$

А вот найти сумму исходного ряда не могу(( не могу найти этот интеграл :(

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 14:46 
Аватара пользователя
А он не берётся в элементарных. Определённый интеграл можно через вычеты посчитать. Рассмотрите подинтегральное выражение для комплексного $t$, разберитесь с ветвями логарифма и полюсами.

Только этот ряд ещё Эйлер считал и по другому.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 14:58 
Аватара пользователя
Можно несколькими способами - кроме означенного grisом, еще есть способ с рядами Фурье и (наверное, самый "элементарный") способ через двойной интеграл $\int_{[0,1]^2}\frac{1}{1-xy}dx\,dy$.

Тут оба способа довольно дотошно описаны (правда, на английском, но понять формулы можно на любом языке).

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 15:07 
Аватара пользователя
"Ряд из обратных квадратов" довольно популярный. Есть десятка два способов его вычисления. Если погуглить именно по этим словам или по "сумма обратных квадратов", то наверняка найдутся целые сборники решений.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 16:25 
Аватара пользователя
а мне так нравится
$\sin x  =x \left(1-\frac {x^2} {\pi^2} \right) \left(1-\frac{x^2} {2^2 \pi^2} \right) \cdot...$
$\sin x=x-\frac{x^3} {3!} +\frac{x^5} {5!}-...$
Приравниваем коефициенты при $x^3$ получаем то, что хотим

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 16:56 
$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ - дзета-функция Римана и, кажется, $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$.

Добавлено спустя 15 минут 25 секунд:

Хорхе, оказывается, уже дал ссылку.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 17:21 
Verum А эта штука случайно никак не выражается через замечательные пределы?

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 16:07 
Используйте равентво Парсеваля для функции $f(x)=\frac{\pi -x}{2}$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group