Физический смысл определенного интеграла

[Everest]

Есть такая задача: С какой силой однородное материальное полукольцо массой $M$ и радиусом $r$ притягивает материальную точку массы $m$, находящуюся в его центре.

Вопрос вот в чем: как понять в центре кольца? Это либо центр масс кольца, либо точка, которая была бы центром кольца, если до него достроить, т.к. здесь по сути и подразумевается, что на одинаковом расстоянии.

Если же все таки второй вариант, то как тогда решать эту задачу с помощью определенного интеграла.
Ясно, что здесь нужна формула гравитационного притяжения: $\frac{\gamma M m}{r^2}$. Но вот меня мучают вопросы, о которых я написал выше Подскажите, пожалуйста.

[Алексей К.]

Речь, несомненно, о геометрическом центре окружности. Подменять термин "центр масс" просто "центром", по-моему, категорически нельзя. Было бы явно сказано --- "находящуюся в его центре масс".

[Everest]

Можете тогда подсказать как решается с помощью определенного интеграла задача.

Я так понимаю будет

$$ \int \frac{\gamma M m}{\pi rx^2} dx $$

Не пойму какие будут пределы интегрирования?

[Алексей К.]

Полукольцо расположим так, чтобы центр был в начале координат, а само оно --- в правой полуплоскости. Интегрировать будем по полярному углу $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$. Очевидно (из симметрии), что сила притяжения будет направлена вдоль оси абсцисс. Для каждого кусочечка $d\varphi$ надо определить его массу, силу притяжения, и проекцию этой силы на ось абсцисс. Просуммировать (т.е. проинтегрировать) по всем кусочкам, от -90 до +90.
Ну, а поперечные силы скомпенсируются, и они нам не интересны.

[Everest]

Спасибо

[Nxx]

Если точка в центре масс кольца, то сила равна нулю

[Алексей К.]

Заявление требует доказательства.