Определители неквадратных матриц

[LetsGOX]

ВСТУПЛЕНИЕ
Все знают, что определитель квадратной матрицы - это объем n-мерного куба, с ориентированными сторонами, заданными векторами в данной матрице
С квадратными матрицами тут все понятно, но ведь найти определитель неквадратной (Например, для псевдо-объема куба, натянутого на 3 вектора из 4-мерного пространства)
Итак, к самому нахождению определителя неквадратной матрицы Если пользоваться правилом миноров, то получаем набор не вычисленных векторов, иначе говоря определитель не квадратной матрицы это не число, а вектор
Все бы хорошо, но как понять псевдо-объем куба как вектор?
Или тут вообще ко-векторы?

САМ ВОПРОС
Я слышал, что определитель неквадратной матрицы можно получить ЧИСЛЕННО, высчитывая число перестановок (Или перемещений, или сочетаний - не знаю чего именно) квадратных под-определителей, составляющий общий определитель
Никто случайно не знает, как именно и по каким правилам это надо делать?

[GAA]

LetsGOX писал(а):

Все знают, что определитель квадратной матрицы - это объем n-мерного куба, с ориентированными сторонами, заданными векторами в данной матрице
С квадратными матрицами тут все понятно, но ведь найти опреелитель неквадттной (Например для псевдообъема куба, натянутого на 3 ветора из 4-мерного пространства)

Итак, к самому нахожению оперделителя неквадратной матрицы Если пользоваться правилом миноров, то получаем набор невычисленных векторов, иначе говоря определитель неквадраной матрицы это не число, а вектор
Все бы хорошо, но как понять псевдообщем куба как вектор?
Или тут вообще ковекторы?

P.S. Я слышал что можно получить такой опреелитель ЧИСЛЕННО, высчитывая число перестановок (Или перемещений, или сочетаний - не знаю чего именно) квадратных подопреелителей, составляющий общий опреелитель

P.P.S. А если заместо векторов свзять корень из скаляроног произведения самого на себя (Грубо говоря длину вектора)

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (М)" в карантин.

1. Допущены существенные грамматические и пунктуационные искажения (Пункт I.2.к правил Форума).
2. В соответствии с п. III.1 правил форума: Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить.

Отредактируйте, пожалуйста, сообщение и затем напишите в тему Сообщение в карантине исправлено заявку на возвращение.

[PAV]

Тема возвращена

[nckg]

LetsGOX в сообщении #208143 писал(а):

С квадратными матрицами тут все понятно, но ведь найти определитель неквадратной (Например, для псевдо-объема куба, натянутого на 3 вектора из 4-мерного пространства)

Конкретно объём параллелепипеда, натянутого на 3 вектора в четырёхмерном пространстве, найти можно, дополнив эти 3 вектора ортогональным всем им 4-ым вектором и посчитав объём четырёхмерного параллелепипеда, натянутого на полученные 4 вектора через обычный определитель матрицы 4х4.

[PAV]

Объем трехмерного параллелепипеда в четырехмерном пространстве равен нулю.

[nckg]

я имел в виду трёхмерный объём

[LetsGOX]

nckg Да что-то про ортогональный вектор я не додумася, спасибо за идею

P.S. А все-таки интересно, можно ли напрямую найти определитель матрицы $m \times n$

[nckg]

LetsGOX в сообщении #208330 писал(а):

P.S. А все-таки интересно, можно ли напрямую найти определитель матрицы $m \times n$

Не знаю - не встречал. Можно попытаться в общем случае сделать ортогональное дополнение и свести к определителю квадратной матрицы. А если число столбцов больше числа строк, то сначала ещё транспонировать:).

[antbez]

А как вообще определить детерминант для неквадратной матрицы? (Извините, если спрашиваю нечто всем известное...)

[ewert]

nckg в сообщении #208289 писал(а):

Конкретно объём параллелепипеда, натянутого на 3 вектора в четырёхмерном пространстве, найти можно, дополнив эти 3 вектора ортогональным всем им 4-ым вектором и посчитав объём четырёхмерного параллелепипеда, натянутого на полученные 4 вектора через обычный определитель матрицы 4х4

Это, кстати, для любой матрицы $(n-1)\times n$ равно длине аналога трёхмерного векторного произведения. Т.е. корню из суммы квадратов всех миноров порядка $(n-1)$.

[RIP]

И вообще, объём параллелепипеда, натянутый на $m$ векторов в $n$-мерном евклидовом пространстве ($n\ge m$), равен корню из определителя матрицы Грама, а последний, по теореме Бине-Коши (см., например, тут), равен сумме квадратов всех миноров порядка $m$ в соответствующей матрице $m\times n$.

[Лиля]

antbez в сообщении #208460 писал(а):

А как вообще определить детерминант для неквадратной матрицы? (Извините, если спрашиваю нечто всем известное...)

не существует ни какого детерминанта для не квадратной матрицы

[LetsGOX]

nckg Да еще раз спасибо за ортогональный метод, уже испробовал и достаточно универсально и удобно (Если не сичтать что для n>5 ортоганализацию достаточно долго считать, но не более чем сам определитель)

RIP ewert О, спасибо большое, этот метод именно то, что я искал

Лиля Енто почитайте http://community.livejournal.com/ru_math/51114.html?thread=304042#t304042 Я конечно, понимаю, что это не определитель как таковой, а набор операций над минорами, и кстати как мне кажется, он имеет отношение к вышеуказанной мне теорме Бине-Коши

[ewert]

Да, но и определённый элемент грусти в этом присутствует. Определитель есть объём (пусть и даже лишь с точностью до знака) -- только для квадратных матриц. Для прямоугольных же он если чего и есть -- то не более чем вектор или, не к ночи будь помянуто, тензор какой.

[Лиля]

LetsGOX в сообщении #208796 писал(а):

Лиля Енто почитайте

прочитала бред про определитель не квадратной матрицы

Может это чем нить вам поможет:

Если линейное отображение $f: R^n\to R^n$ задаеться матрицой $A$, и $S\subseteq R^n$ любое измеримое по Лебегу подмножество, тогда обьем $f(S)$ вычисляется как $|\det A| \cdot \operatorname{Volumen}(S)$.

В общем случае: Если линейное отображение $f: R^n\to R^m$ задано матрицей $A^{m\times n}$, и $S\subseteq R^n$ любое измеримое по Лебегу подмножество, тогда $n$-мерный обьем $f(S)$ вычисляеться как $\sqrt{\det(A^T A)} \cdot \operatorname{Volumen}(S)$.