Определители неквадратных матриц

[LetsGOX]

ewert Поминать к ночи тензор, действительно, не к добру А на самом деле, как мне кажется, действительно должен получиться вектор - если пользоваться минорами и вычеркивать их, то в конце концов все сведется к сумме векторов
| 1 3 5 | = 1 * | 4 6 | - 3 * | 2 6 | + 5 * | 2 4 | = | 8 8 |
| 2 4 6 |

Лиля Да хороший способ, особенно тем, что получается число
Интересно, будут ли результыты этих двух методов одинаковы (Вашим способом и если найти корень из полученнго вектора, умноженного скалярно самого на себя)

[vvvv]

Странно, что в течение 2-х дней никто не произнес слово-
ПЕРМАНЕНТ, хотя перманенты известны с 1812 года.
См. Х.Минк ПЕРМАНЕНТЫ.

[LetsGOX]

vvvv Спасиюо большое, интересно будет посмотреть, почитать

[kontrolnaya-rabota]

----------------------------

[AKM]

AKM:

Реклама удалена,
kontrolnaya-rabota предупреждается о нарушении правил форума.

[Semailles]

Для неквадратных матриц (и, более общо, элементов $V_1\otimes V_2\otimes \cdots\otimes V_n$, где $V_i$ -- векторные пространства разных, возможно, размерностей над фиксированным полем) существует суровое понятие гипердетерминанта. Это полином от матричных элементов с коэффициентами из поля.

Определяется гипердетерминант так: выберем тензор $f\in V_1\otimes V_2\otimes \cdots\otimes V_n$, он задает полилинейную функцию $F_f:V^*_1\times V^*_2\times \cdots\times V^*_n\to\mathbb{R}$ с помощью свертки (здесь $V^*_i$ -- двойственное к $V_i$ пространство). Назовем $f$ вырожденным, если у заданного им отображения $F_f$ есть такая стационарная точка $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in V^*_1\times V^*_2\times \cdots\times V^*_n$, что $x_i\neq 0$ для всех $i$. Оказывается, множество вырожденных тензоров в пространстве $V_1\otimes V_2\otimes \cdots\otimes V_n$ является множеством нулей некоторого многочлена от матричных элементов тензоров. Этот многочлен и есть -- с точностью до множителя -- гипердетерминант.

Барабанная дробь! Оказывается, гипердетерминант квадратной матрицы равен ее детерминанту.

Множитель я определять не буду, если кому интересно, см. классическую монографию "Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants" Гельфанда-Зелевинского-Капранова. Там же см. зачем это нужно.

[Lyoha]

LetsGOX в сообщении #208143 писал(а):

ВСТУПЛЕНИЕ
Все знают, что определитель квадратной матрицы - это объем n-мерного куба, с ориентированными сторонами, заданными векторами в данной матрице
С квадратными матрицами тут все понятно, но ведь найти определитель неквадратной (Например, для псевдо-объема куба, натянутого на 3 вектора из 4-мерного пространства)
Итак, к самому нахождению определителя неквадратной матрицы Если пользоваться правилом миноров, то получаем набор не вычисленных векторов, иначе говоря определитель не квадратной матрицы это не число, а вектор
Все бы хорошо, но как понять псевдо-объем куба как вектор?
Или тут вообще ко-векторы?

Почитайте про внешние формы. И будет вам щасте.

[yuryev]

(Оффтоп)

Анекдот про Борачинского по теме

Дело было в 78/79, Гога у нас семинары вел. И вот значит первая сессия, последний экзамен - аналитическая геометрия. Все всё сдали, радостные что отмучились, один Жэк продолжает сидеть пыхтеть - дело к банану катится. А брали его кандидатом (в студенты), с условием если двойка на первой сессии - значит отчисление. Ну мы к Гоге, комсорга Гришку вперед - тыр пыр мол Игорь Агафонович, вы нас так хорошо учите, а мы так хорошо все здали, выручайте Жэку.

Тот конечно рад помочь, щас говорит пойду типа посмотрю. Возвращается через пять минут, нет говорит - ничего сделать не возможно - он вообще ничего не знает. Я ему вот простенькую задачку задал - а он ее не решил, что я могу сделать? А может вы кто нибудь решите?
Народ несколько замялся, как бы чего не вышло, ну тут Книжник светлая голова вперед - вот я такой сякой, чего ни зададите все решу. Ну Гога и рисует ему прямоугольную матрицу - то есть не квадратную, два на три. Вот говорит - я его детерминант попросил посчитать, а он не может. Ну народ так шу-шу-шу - этак в сторону - как же так неквадратная матрица! что делать? Но вслух никто ничего вякнуть не решился. Официального ответа Гога так и не дождался (удивительно, и вы, Книжник, тоже ничего не знаете!) и пошел довольный обратно к Жэку. Вобщем, обул он нас, а Жэка отпустили в конце концов с трояком.

Да, веселый был человек. Сейчас погуглил - бывают таки какие то детерминанты и у неквадратных матриц. Но, конечно, не в учебнике Беклемишева.

Deggial: анекдот засунут в оффтоп как сообщение не по теме.