Решить в натуральных числах 3 sigma(n) = 4n + 79

[Руст]

Когда числа $a$ и $b$ не взаимно просты можно уравнение делить на этот общий делитель (если $c$ не делится решений нет). После сокращения, случай $a=b=c=1$ единственный случай, когда уравнение имеет бесконечное множество решений. Именно в этом заключается задание.

[Руст]

Ошибся. Есть ещё случаи, когда имеется бесконечное множество решений, достаточно решение искать в виде $n=pm$ с фиксированным $m$ и взять $a=m, b=\sigma (m),c=m\sigma (m)$. Кажется других случаев с бесконечным числом решений нет.

[Руст]

И здесь я ошибся. С помощью простых чисел Мерсена или обобщённых чисел Мерсена (при предположении, что их бесконечно много, что очень правдоподобно) можно построить и другие уравнения с бесконечным числом решений. Похоже легче указать случаи, когда число решений конечно, чем указать все случаи, когда бесконечное число решений.

[vbn]

Руст писал(а):

С помощью простых чисел Мерсена или обобщённых чисел Мерсена (при предположении, что их бесконечно много, что очень правдоподобно)...

Руст, не подскажете, а какие факты говорят в пользу утверждения что чисел Мерсенна бесконечно много?

[Руст]

Вероятностные соображения.

[vbn]

vbn писал(а):

Руст писал(а):

С помощью простых чисел Мерсена или обобщённых чисел Мерсена (при предположении, что их бесконечно много, что очень правдоподобно)...

Руст, не подскажете, а какие факты говорят в пользу утверждения что чисел Мерсенна бесконечно много?

Руст писал(а):

Вероятностные соображения.

Не затруднит ли Вас дать более развернутый ответ?

[juna]

Я тоже как-то такой вопрос задавал http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1710&start=15 и было бы очень интересно услышать на него обоснованный ответ.

[Руст]

Вероятностные соображения ничего не доказывают, а только дают повод выдвигать соответствующие гипотезы. Рассмотрим например обыкновенные числа Мерсена: $q=2^p-1$ с простыми $p$. Все простые делители такого числа дают остаток 1 при делении на $p$. Пусть $p$ пробегает простые числа от $x$ до $ax$. Все эти числа взаимно просты. Вычислим вероятность того, что хотя бы одно из $m=\pi (ax)- \pi (x)$ чисел простое. Соответственно вероятность того, что ни одно из чисел Мерсена из этого интервала не делится на простое число $r=1\pmod p$ равно $\frac{C_{r-1}^m}{C_r^m}=1-\frac mr $. Учитывая, что произведение по всем потенциальным делителям $r$ $\prod_r (1-\frac 1r )=(\frac{1}{\ln n })^{1/(p-1)}$ получается, что при $a>1$ вероятность того, что одно из них простое положительное не малое число. Оценка даёт, даже что в интервале от $x$ до $2x$для $p$, при больших $x$ обязательно должна существовать число Мерсенна $M(p)$ (вероятность стремится к 1).

[Someone]

http://primes.utm.edu/mersenne/

Здесь можно найти полный список известных простых чисел Мерсенна (и не только список). Желающие могут его проанализировать.

[juna]

Руст, Someone - спасибо, поразбираюсь на досуге.

[квадрат]

Присоединяюсь к благодарности,будет интересно ознакомиться с материалом