Вероятностные соображения ничего не доказывают, а только дают повод выдвигать соответствующие гипотезы. Рассмотрим например обыкновенные числа Мерсена:

с простыми

. Все простые делители такого числа дают остаток 1 при делении на

. Пусть

пробегает простые числа от

до

. Все эти числа взаимно просты. Вычислим вероятность того, что хотя бы одно из

чисел простое. Соответственно вероятность того, что ни одно из чисел Мерсена из этого интервала не делится на простое число

равно

. Учитывая, что произведение по всем потенциальным делителям

получается, что при

вероятность того, что одно из них простое положительное не малое число. Оценка даёт, даже что в интервале от

до

для

, при больших

обязательно должна существовать число Мерсенна

(вероятность стремится к 1).