Математическая модель для условных высказываний

[Watchman]

Предположим, что строится некая экспертная система, которая общается с пользователем на естественном языке (по мере сил). В числе прочего она использует конструкции вида "если ... то ...", которые далее будут называться "условными высказываниями".

Необходимо выбрать математическую модель, которая как можно точнее повторяет поведение этих конструкций в естественном языке. "Модель" здесь не в смысле теории моделей, а в естественнонаучном понимании - некий математический аппарат, имитирующий, просчитывающий некое природное явление, возможно, с погрешностями.

Хотелось бы проконсультироваться у специалистов (но готов выслушать чьи угодно соображения).

Мне неизвестно, как строго перечислить свойства условных высказываний, иначе описанная проблема была бы автоматически решена. Также я осознаю, что после предъявления некоторой модели встанет вопрос о том, насколько точна данная модель, а ответ на этот вопрос упрется в отсутствие строгих критериев. В качестве компромисса я могу предъявить некий "минимальный" список требований, полное или частичное удовлетворение которых было бы, как мне кажется, шагом вперед.

1. Модель должна быть достаточно простой хотя бы для простых, "бытовых" случаев. Это требование происходит из того факта, что условные высказывания успешно осваиваются детьми в самом раннем возрасте. Значит, там должны быть задействованы достаточно примитивные механизмы. Одновременно это замечание поясняет критерий простоты: просто с точки зрения известных психических механизмов у человека. К сожалению, это требование также нестрогое по меркам математики, но здесь хотя бы есть, на что опереться, кроме пресловутой "интуиции".

2. Модель должна удовлетворять некоторым общепринятым приемам для подобных высказываний. Конкретнее:
- modus ponens
- modus tollens
- транзитивность
- некоммутативность в общем случае
- правило обращения, при котором на основе истинности фразы "если A то B" может быть построена фраза "если не B, то не A".
- правила, аналогичные правилам введения и удаления для конъюнкции и дизъюнкции.

3. Некоторые модели, точность которых хотелось бы превзойти (и в чем).

3.1. Материальная импликация и "strict"-импликация. Хотелось бы избавиться от свойств типа "из лжи следует все" и "истина следует из всего". Если предполагается применение в экспертной системе, то крайне нежелательно, чтобы система, доказав ложное высказывание (в частном случае - противоречие) оказывалась бы перед произвольным выбором вариантов рассуждения, каждое из которых оказывается вдруг доказанным. В идеале система не должна полагать ложные высказывания доказанными, но в реальности это неизбежно (ошибка оператора, ошибочная информация в базе данных).

3.2. Моделирование условного высказывания через дедуктивный переход в аксиоматической системе без уточнения системы. В этом случае проблема "загоняется вглубь", так как возникает вопрос, в каких именно аксиоматических системах дедуктивные переходы ведут себя достаточно адекватно.

4. Желательно обнаружение эффективного алгоритма вычисления истинности произвольно выбранного условного высказывания. В частности, для прикладных применений было бы предпочтительнее создание "вычислительных" алгоритмов (по типу вычисления истинности в булевой алгебры), а не алгоритмов вывода с перебором вариантов в деревьях дедуктивного вывода.

Приношу свои извинения, если я нечаянно нарушил какие-то правила или неписанные традиции форума. Я здесь новичок.
Приношу свои извинения, если я некорректно употребил какой-нибудь математический термин. Я не математик, а компьютерщик.

[PAV]

Тема переносится из дискуссионного раздела (М) в корневой

Добавлено спустя 2 часа 25 минут 44 секунды:

Вот некоторые соображения, которые приходят в голову сразу. Отмечу, что все это довольно банально и наверняка уже где-нибудь описано и возможно даже реализовано.

Во-первых, нужно определиться с тем, с какого рода высказываниями умеет работать система, и описать их. Например, можно ввести сущности "множество объектов" (люди, кошки, собаки), "конкретные объекты", "признаки объектов".

Высказывания или суждения - это связи между этими сущностями. Теоретико-множественные операции (включения, объединения, пересечения) ("Кошки являются млекопитающими"). Кванторы ("Некоторые кошки черные"). Принадлежность признака данному объекту или множеству ("Трава зеленая", "Вода мокрая").

Далее высказывания объединяются логическими связками И, ИЛИ и устанавливаются связи ("если - то"). Каждому высказыванию приписываются признаки истинности ("верно", "неверно", "неизвестно"). На более сложном уровне можно ввести нечеткую истинность ("скорее всего верно"), но это более сложно.

Общение с системой происходит на уровне обучения (добавления новых объектов, признаков, установка новых связей) и сообщения о том, что некоторые высказывания истинны. Система же пользуется известными ей связями между высказываниями и выводит следствия из тех фактов, которые ей сообщили.

[bot]

Watchman в сообщении #207557 писал(а):

Необходимо выбрать математическую модель, которая как можно точнее повторяет поведение этих конструкций в естественном языке. "Модель" здесь не в смысле теории моделей, а в естественнонаучном понимании - некий математический аппарат, имитирующий, просчитывающий некое природное явление, возможно, с погрешностями.

О моделях в смысле теории моделей представление имею, а об их естественнонаучном понимании не имею понятия - это что-то совсем бесформенное и неопределённое, ближе к философии.
В теории моделей изучают язык импликаций (это и есть "если, то") и класс моделей удовлетворяющих некоторому списку импликаций называют импликативным классом или квазимногообразием, а также хорновским классом. Только надо определиться, как пишет PAV с сигнатурой, то есть со списком предикатов или равносильно отношений.
Идеи возникающие из рассмотрения импликативных систем реализованы в языке Пролог. Хороша реализация или нет - не в курсе, поскольку не компьютерщик.

В случае, когда "если, то" находится лишь среди прочего, то как велико прочее?

[luitzen]

Напишите участнице Чудо-в-перьях и попросите порекомендовать Вам какую-нибудь релевантную систему с несложной разрешающей процедурой. Возможно, в качестве опции Вам будут предлагать какую-нибудь немонотоннность, но Вы вольны не соглашаться .

[Watchman]

PAV писал(а):

Во-первых, нужно определиться с тем, с какого рода высказываниями умеет работать система, и описать их. Например, можно ввести сущности "множество объектов" (люди, кошки, собаки), "конкретные объекты", "признаки объектов".

Хотелось бы достичь результатов хотя бы для простого случая, уловить общий принцип, и далее думать о болеесложных вариантах. Простейший случай, например, такой:

1. Если A - высказывание, то "не (A)" - высказывание. Интерпретация на \left\{ true, false \right\} - булево отрицание.
2. Если A и B - высказывания, то "(A) и (B)", "(А) или (B)", "либо (A), либо (B)" - высказывания. Интерпретации - булевы "и", "или", "xor".
3. Если A и B - высказывания, то "если (A), то (B)" - высказывание. Интерпретация неизвестна (собственно, задача).
4. Высказыванием является любой другой текст, в котором есть переменные в скобках, при условии, что для каждой переменной указана конечная (для простоты) область значений и однозначная интерпретация (в общем, предикат).

Что касается интерпретации "если (A), то (B)", то тут уже вырисовывается некий набор необходимых, но, увы, не достаточных требований. Мне бы хотелось знать, каковы нынешние достижения, чтобы не изобретать велосипед. Скажем, я догадался, что в частях должны быть одноименные переменные, а потом прочел об этом в статье о релевантной логике.

Добавлено спустя 8 минут 52 секунды:

bot писал(а):

О моделях в смысле теории моделей представление имею, а об их естественнонаучном понимании не имею понятия - это что-то совсем бесформенное и неопределённое, ближе к философии.

По-сравнению с математикой все на свете бесформенное и неопределённое Это из области естественных наук: есть математическая модель, с ее помощью предсказывается результаты измерений в некотором эксперименте и ожидаемые погрешности. Потом проводится, собственно, эксперимент, выполняются запланированные измерения, и результаты должны совпадать с расчитанными в пределах (опять же расчитанных) погрешностей. В данном случае эксперимент состоит в том, чтобы на основе набора высказываний, для которых пользователь задает текст и истинность, получить новые высказывания, показать их текст, оценить их истинность, и чтобы эта оценка совпадала с оценкой пользователя.

bot писал(а):

Идеи возникающие из рассмотрения импликативных систем реализованы в языке Пролог. Хороша реализация или нет - не в курсе, поскольку не компьютерщик.

Ох, давно это было... когда я учил Пролог, то понимал его работу интуитивно, и ни о чем таком не задумывался. Но вы меня навели на мысль. Стоит почитать на эту тему, спасибо.

На вопрос насчет синтаксиса высказываний ответил в предыдущем сообщении.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

luitzen писал(а):

Напишите участнице Чудо-в-перьях и попросите порекомендовать Вам какую-нибудь релевантную систему с несложной разрешающей процедурой. Возможно, в качестве опции Вам будут предлагать какую-нибудь немонотоннность, но Вы вольны не соглашаться .

Если есть действительно простая релевантная система, это могло бы подойти. Спасибо за наводку, спрошу.

[Свободный Художник]

Если Вас интересует именно математическая модель для условных высказываний, то базовые сведения о ней можно получить в обзорной статье:
Агафонов В. Н., Борщев В. Б., Воронков А. А.
Логическое программирование в узком смысле.
В книге: Логическое программирование: Сборник статей. Под ред. Агафонова В. Н.
М.: Мир, 1988, сс. 301 — 308.
http://www.px-pict.com/9/6/4/4.html

(условные высказывания там называются “правилами”).

[Чудо-в-перьях]

О, давайте я Вам напишу аксиомы и правила вывода FDE (First-Degree Entailment) Может, она Вам лучше подойдет)

$Ax1.(A$\wedge B) $\longrightarrow A$ \par $Ax2.(A$\wedge B) $\longrightarrow B$ \par $Ax3.A $\longrightarrow (A$\vee B)$ \par $Ax4.B $\longrightarrow (A$\vee B)$ \par $Ax5.A $\longrightarrow $\neg $\neg A$ \par $Ax6.\neg $\neg A $\longrightarrow A$ \par $Ax7.(A$\wedge (B$\vee C)) $\longrightarrow ((A$\wedge B)$\vee C)$ \par $R1. A $\longrightarrow B, A $\longrightarrow C $\vdash A$\longrightarrow (B$\wedge C)$ \par $R2. A $\longrightarrow C, B $\longrightarrow C $\vdash (A$\vee B) $\longrightarrow C$ \par $R3. A $\longrightarrow B $\vdash $\neg B $\longrightarrow $\neg A$ \par $R4. A $\longrightarrow B, B $\longrightarrow C $\vdash A$\longrightarrow C$
Символ $\vdash означает переход от посылок к заключению.

Вот, кстати. ситема без модус поненс.))))

Добавлено спустя 6 минут 20 секунд:

И с импликацией))

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

В FDE есть табличная (матричная) разрешающая процедура (4-ч значаня логика) ,без усяких там немонотонностей. Я постараюсь ее найти и написать попозже))

[Watchman]

Чудо-в-перьях, большое вам спасибо - куча информации и в личке, и здесь - даже не знаю, где отвечать. Отвечу тогда уж здесь на все. Если есть другие предпочтения, скажите.

По поводу перечисленной вами литературы - надо будет поискать, что из этого есть в электронном виде.

Что есть "синтаксический критерий"?

FDE интересная - похоже на формализацию логики схоластов, которая в наше время стала практически "обиходной". Только Ax7 выбивается из общего ряда, как будто добавлена для того, чтобы сделать систему "полнее".

Что бросается в глаза. Всякий результат в FDE есть импликация (условное высказывание). То есть, рассуждения в FDE (1) никогда не ведут к "безусловным" заключениям, как это бывает в жизни, и (2) на "входе" требуют, опять же, условных высказываний. (1) еще интуитивно понятно, а вот (2) кажется непонятным усложнением. Слегка напрягает, непонятно, как с этой системой работать. Надо будет почитать.

В R и E пытался интуитивно понять аксиомы 2-4. Ну Suffixing - это обычная транзитивность. Assertion и Contraction - какие-то вариации на тему modus ponens и теоремы дедукции.

А вот номер 2 ("EntT") в E выглядит странно:

((A $\longrightarrow A) $\longrightarrow B) $\longrightarrow B

если из тавтологии следует B, то из этого следования следует B. Ерунда какая-то - разве в обычных рассуждениях тавтология бывает условием для чего-то? Интересно, какие соображения привели к введению этой аксиомы?

В общем и в целов по поводу упомянутых систем - помимо аксиом известны ли какие-нибудь "сильные" или "эффективные" теоремы вроде теоремы дедукции или теорем о полноте классических исчислений?

[Свободный Художник]

В релевантной пропозициональной логике $\mathbf{R}$ (и более слабых системах) часто вводят в рассмотрение связку $\circ$ “интенсиональной конъюнкции” и противопоставляют ее связке $\land$ “экстенсиональной конъюнкции”.

Именно интенсиональная конъюнкция является “парой” для релевантной импликации $\Rightarrow$, которую тоже квалифицируют как “интенсиональную” связку (“парой” в том смысле, что из формулы $(A \circ B) \Rightarrow C$ следует формула $A \Rightarrow (B \Rightarrow C)$ и обратно).

Где бы найти описание позитивных фрагментов (т. е. без связки отрицания) логики $\mathbf{R}$?
Т. е. интересует фрагмент с набором связок $\circ, \Rightarrow, \land, \lor$, а также “чисто интенсиональный” фрагмент с набором связок $\circ, \Rightarrow$ и чисто импликативный фрагмент с единственной связкой $\Rightarrow$. Все фрагменты желательно с дедуктивной системой гильбертовского типа.
А также интересует описание алгебраической семантики для указанных фрагментов.

[Чудо-в-перьях]

Watchman, да не за что;))

Под синтаксическим критерием обычно имеется в виду критерий (разрешающая процедура), не учитывающая семантической, смысловой интерпретации синтемы: это либо дедуктивная процедура, либо алгебраические разрешающие методики (опять-таки без опоры на семантические, напр., теоретико-модельные интерпретации алгебр).К примеру, для FDE выделяется такой синтакисческий критерий. Левая часть импликации (антецедент) с помощью алгебраических преобразований( перестановка, ассоциативность, законы де Моргана и т.п.) приводится к конъюнктивной нормальной форме, а правая часть импликации (консеквент) приводится к дизъюнктивной нормальной форме. Если существует элементарный конъюнкт (т.е. пропозициональная переменная либо ее отрицание) антецедента, являющийся элементарным дизъюнктом косеквента, то между ними есть логическое следование, и , в итоге. вся импликация истинна (явл. теоремой системы). Это синтаксический критерий тавтологического следования Андерсона-Белнапа. очень удобный. Матричная семантическая процедура есть для FDE в рамках 4-х значной логики, но она более громоздкая-побольше требует вычислений.

насчет Ax7.-- вы совершенно верно заметили!.. она вводится действительно для того. чтобы сделать систему более "полной"!! (для док-ва дистрибутивности она используется:))

насчет аксиомы "EntT",думаю, у нее такая интерпретация: если из истины $A $\longrightarrow A$ следует B, т.е. все, что угодно, то тогда в данной системе истинно произвольное высказывание (опять-таки то же самое B)--она противоречива!.. Думаю, ее введение связано с требованием семантической непротиворечивости системы.

насчет FDE -здорово заметили, действительно, логика условных высказываний. Почему-то релевантная логтика изначально задумывалась как система, теоремами к-рой могут быть только условные суждения. И уже позже эти требонания стали смягчаться.

Да, есть аналог теоремы дедукции( релевантная теорема следования)

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

Вот она.
A $\models$ B $\Leftrightarrow$ $\mathcal{j}\ A $\longrightarrow$ B $\mathcal{j}\ o = 1, где под $o$ понимается "выделенный", главный мир, под$\mathcal{j}\ A $\longrightarrow$ B $\mathcal{j}\ o = 1 -- значение импликативной формулы в указанном выделенном мире, а под $\models$ -семантический аналог логического следования ("Общезначимо"). 1 -это "истинно".
выделенный мир - это "главный" мир, где содержатся все истины исследуемой системы.

Добавлено спустя 17 минут 48 секунд:

Свободный Художник, я , ксожалению. навскидку такие работы назвать не смогу--постараюсь на кафедре поспрашивать)

Добавлено спустя 7 минут 12 секунд:

ПРо табличный метод для релевантой логики можно почитать в статье Попова О.В. "Четырехзначная логика с двумя выделенными значениями" в альманахе "Логика и В.Е.К." (к 90-летию Е.К. Войшвилло), но это, скорее всего, библиотечная книга. И очень хорошие статьи по той же проблематике (табличная интерпертация) Белнап, Стил "Логика вопросов". В этой книге Приложения "Как должен рассуждать компьютер" и "Об одной интересной 4-хзначной логике"--вот 2 эти штуки очень рекомендую. даже в библиотеку можно сходить))

[luitzen]

Вот тут обещают проблемы с разрешаюшей процедурой для достаточно широкого класса систем, если, конечно, я всё правильно понял. При доказательстве используются соображения из проективной геометрии .

[Чудо-в-перьях]

не, это для R и E (там, где в формулах может быть много импликаций(больше одной))!!)))
А так я у нашего доцента спрашивала--он говорит, что FDE должна хорошо "разрешиться")) а проективную геометрию я так плохо знаю, что лучше промолчу

Добавлено спустя 2 минуты 44 секунды:

Помню, что то же доцент рисовал нам трехмерную конструкцию на доске и что-то там чертил--показывая схему доказательства полноты)))

Добавлено спустя 7 минут 2 секунды:

luitzen, какую Вы интересную книгу нашли!.. я не видела такой, сейчас читаю))

[luitzen]

Чудо-в-перьях в сообщении #209450 писал(а):

Не, это для R и E…

Ну, я подумал, что $\mathbf{R_+}$ — это где-то в районе того, о чём говорил Свободный Художник:

Свободный Художник в сообщении #208519 писал(а):

Где бы найти описание позитивных фрагментов (т. е. без связки отрицания) логики $\mathbf{R}$?

В контексте темы обещание проблем с разрешающей процедурой (в частности, отсутствие «точной конечной модели») показалось мне уместным .

[Чудо-в-перьях]

luitzen писал(а):

Чудо-в-перьях в сообщении #209450 писал(а):

Не, это для R и E…

Ну, я подумал, что $\mathbf{R_+}$ — это где-то в районе того, о чём говорил Свободный Художник:

О, я нашла в конспектах , для какой логики нша доцент использовал проективную геометрию:
$KR = R + (A$\wedge $\neg A) $\longrightarrow B$
Может быть. она тоже кому-нибудь пригодится. эта система не классическая и не релевантная)
А $\mathbf{R_+}$ --может быть, это отношение достижимости R, дополненное новыми условиями? там в начале книги что-то такое было, импликация тогда по-другому будет "работать"

Добавлено спустя 7 минут 16 секунд:

ай. нет, наврала)) $\mathbf{R_+}$ --это действительно название самой системы, только в ней на отношение достижимости накладывается следующее условие:
$Rabc $\supset Rbac$, где под R я подразумеваю отношение достижимости в системе R

[Чудо-в-перьях]

luitzen, Вы были правы: $\mathbf{R_+}$ --это действительно позитивный фрагмент системы R, хотя указанное мной условие для отношения достжимости для данного фрагмента тоже имеет место))
На страничке 199, в этой же книге, можно подробнее почитать $\mathbf{R_+}$ (там есть и интенсиональная конъюнкция!))))

Добавлено спустя 8 минут 28 секунд:

Эта система действительно неразрешима, так же. как и KR. интенсионалньая конъюнкция--это точка с запятой или-в других системах-запятая, являющаяся разделителем в структуре данных!!)) Структура данных. как я поняла, есть не что иное, как набор гипотез, из которых потом формируется анцецедент (левая часть) импликации.