Помогите найти сумму.

[Verum]

$ \sum\limits_{k=0}^n(\frac{n!} {k! \mul (n-k)!})^2 $

После нескольких неуспешных попыток попробовал решить это в Maple получилось:

$$ \frac {4^n\mul\Gamma(n+\frac 1 2)} {\sqrt\pi \Gamma(n+1)} $$

Немойму как это можно получить, подскажите.

[gris]

Это сумма квадратов биномиальных коэффициентов.

Равна биномиальному же коэффициенту.

$$ \sum\limits_{k=0}^n(\frac{n!} {k! \mul (n-k)!})^2 =\sum\limits_{k=0}^n \left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n$$

Доказательство можно посмотреть в какой-нибудь школьной книжке про треугольник Паскаля. Кстати, последнее выражение имеет интересную асимптотику при $n\to\infty$

[ASA]

gris писал(а):

$$\sum\limits_{k=0}^n \left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n$$

Для доказательства можно воспользоваться биномом Ньютона. С одной стороны, $C_{2n}^n$ - это коэффициент при $x^n$ в разложении $(1+x)^{2n}$. С другой стороны, если разложить $(1+x)^n$, выписать коэффициент при $x^n$ в произведении $(1+x)^n(1+x)^n$ и вспомнить, что $C_n^k=C_n^{n-k}$, то получим сумму квадратов $\sum\limits_{k=0}^n \left(C_n^k\right)^2$.

Добавлено спустя 6 минут 11 секунд:

Да. Еще так можно. Ответьте на вопрос: сколькими способами можно выбрать $n$ шаров из $2n$ шаров, среди которых $n$ белых и $n$ черных.

[romanz]

Интересно, что известно о аналогичных суммах кубов, биквадратов и т.д. ?
Для кубов имеется тождество
$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\binom{2n}{k}^3=\frac{(-1)^n(3n)!}{(n!)^3}$
доказанное в 1890 году Диксоном.

[romanz]

Методом производящих функций ASA можно получить решение для кубов, биквадратов, ... Вопрос снимается. Но решение с помощью некоторой комбинаторной интерпретации было бы интересно.

[EtCetera]

romanz
А как будет выглядеть тождество для биквадратов?
Должно быть что-то вроде $\sum\limits_{k=0}^{3n}\dots\binom{3n}{k}^4=\frac{\dots(4n)!}{(n!)^4}$, но подгонки ничего тождественного, вроде бы, не дают.

[romanz]

Наверно, суммировать надо по разбиениях натурального $k$.