у дважды дифф. функции между экстремумами - точка перегиба

[cartman]

Задача: показать, что у дважды дифференцируемой функции между двумя экстремумами лежит точка перегиба.

Решал так.
Рассмотрим отрезок с концами в экстремумах. Производная непрерывна на этом отрезке, на концах принимает значения ноль. Если считать, что других экстремумов на рассматриваемом отрезке нет, то производная либо неположительна, либо неотрицательна. Пусть неотрицательна. Существует точка внутри интервала, где производная максимальна, а значит вторая производная ноль. Для этой точки необходимое условие выполнено. Проблемы возникают с достаточным. Я пробовал со сменой сменой знака второй производной в левой и правой окрестности, но есть примеры функций которые в сколь угодно малой односторонней окрестности не сохраняют знак. Как быть?

[Хорхе]

Проблема в том, что и то, что Вы написали, не вполне гладко. Скажем,

Цитата:

Если считать, что других экстремумов на рассматриваемом отрезке нет, то производная либо неположительна, либо неотрицательна.

А если есть?
С другой стороны, а зачем Вам это надо? Вам надо, чтобы или минимум, или максимум на этом отрезке достигался в промежуточной точке. (Ну раз человек решил передоказывать теорему Ролля, почему ему не помочь?)

А вот насчет смены знака - тут я очень не уверен, что это вообще можно доказать и что это вообще правда.

Но и смена знака не нужна: ведь если у производной локальный экстремум в этой точке - это точка перегиба, как пить дать.

[cartman]

Насчет смены знака Вы правы, далеко не факт, что вторая производная меняет знак через точку экстремума. Можно насчет "ведь если у производной локальный экстремум в этой точке - это точка перегиба, как пить дать" немного подробнее- не до конца понимаю почему так

[ewert]

cartman в сообщении #207641 писал(а):

Можно насчет "ведь если у производной локальный экстремум в этой точке - это точка перегиба, как пить дать" немного подробнее- не до конца понимаю почему так

Это не так.

[Хорхе]

ewert писал(а):

cartman в сообщении #207641 писал(а):

Можно насчет "ведь если у производной локальный экстремум в этой точке - это точка перегиба, как пить дать" немного подробнее- не до конца понимаю почему так

Это не так.

А почему это не так, позвольте поинтересоваться?

Вот я как рассуждаю: пусть эта точка - точка максимума.
Написали уравнение касательной, в малой окрестности слева график функции будет лежать выше, справа - ниже, благодаря теореме Лагранжа (например).

[cartman]

А если рассмотреть функцию, производная которой в точке максимума производной есть затухающая слева и справа синусоида, "натянутая" на параболу ветвями вниз с вершиной в точке максимума производной. Вторая производная в точке максимума первой производной- ноль, а в любой окрестности монотонности первой производной нет. Будет ли точка максимума первой производной точкой перегиба?

[Хорхе]

cartman писал(а):

А если рассмотреть функцию....?

Вы мой ответ выше прочитали? С чем не согласны?

[cartman]

Может я и не так понял, но понял так:) :
Вы берете точку максимума производной и пишите формулу Лагранжа для точки в, например, левой окрестности точки максимума. Т.е. существует промежуточная точка, в которой в силу максимума, вторая производная больше нуля. По достаточному условию функция выпукла вниз. В правой окрестности- наоборот. Значит, максимум производной- точка перегиба. Я правильно понял?

[Хорхе]

Нет, неправильно. Вы берете точку, в которой производная имеет максимум (минимум) и доказываете (в помощью формулы Лагранжа, например), что график функции слева от этой точки лежит выше (ниже) касательной в этой точке, а справа от этой точки - ниже (выше).

[gris]

cartman, Вы ушли от Вашей задачи. Вам надо доказать, что между двумя нулями производной лежит точка перегиба. То есть изолированная точка экстремума производной. А вы приводите пример предельной точки. Для которой не выполняется условие перегиба. Кроме неё есть и другие точки. Если только...

Верно ли то, что нули непрерывной, но не равной константе ни на одном интервале функции, не могут быть всюду плотными на каком-либо интервале. Чо то коряво сформулировано, но тем не менее

но вот если вторая производная не непрерывна...

Если взять функцию, равную нулю и непрерывную во всех иррациональных точках, разрывную во всех рациональных(мера 0), но не знакопостоянную и дважды её проинтегрировать. Что будет?

[ewert]

Хорхе в сообщении #207707 писал(а):

А почему это не так, позвольте поинтересоваться?

А это просто очень скользкий вопрос -- что считать перегибом. Наиболее распространённая трактовка -- это точка, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости. Ну так и не факт. Вы ж сами говорили.

Ну а если трактовать ка справо лежит выше касательной, слева же ниже (или наоборот) -- тогда да, так. Только это эстетически как-то нехорошо называть перегибом.

Ну и по совокупности: нехорошая постановка задачи.