2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения Бернулли и Пуазейля.
Сообщение23.04.2009, 00:44 


23/04/09
1
Не могу понять следующую вещь. Есть у нас уравнение Бернулли, полученное для ламинарного течения несжимаемой жидкости без вязкости. А есть уравнение Пуазейля, которое эту вязкость учитывает. Но если в этой формуле устремить вязкость к нулю, то Бернулли ну никак не получается. В чем тут дело?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 08:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Serguey в сообщении #207251 писал(а):
Есть у нас уравнение Бернулли, полученное для ламинарного течения несжимаемой жидкости без вязкости. А есть уравнение Пуазейля, которое эту вязкость учитывает. Но если в этой формуле устремить вязкость к нулю, то Бернулли ну никак не получается. В чем тут дело?

В том, что Вы с головой не дружите. Уравнение Бернулли это частный вид интеграла движения, а Пуазейля - это распределение скоростей по радиусу. Как из одного может получиться другое я вообще понять не могу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Я думаю, что дело в том, что уравнение Пуазейля (в некотором виде) являются решением уравнений Навье-Стокса в частном случае для ламинарного течения в длинной узкой цилиндрической трубе.
А уравнения Бернулли решением уравнения Эйлера для стационарного течения идеальной жидкости.
Дифференциальные уравнения НС имеют второй порядок, а Эйлера первый. Причём не являются предельным случаем НС при устремлении вязкости к 0

Самому интересно, так ли это. Могу сильно ошибаться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 21:35 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
gris в сообщении #207288 писал(а):
Я думаю, что дело в том, что уравнение Пуазейля (в некотором виде) являются решением уравнений Навье-Стокса в частном случае для ламинарного течения в длинной узкой цилиндрической трубе.
А уравнения Бернулли решением уравнения Эйлера для стационарного течения идеальной жидкости.
Дифференциальные уравнения НС имеют второй порядок, а Эйлера первый. Причём не являются предельным случаем НС при устремлении вязкости к 0

Самому интересно, так ли это. Могу сильно ошибаться.

Думаю, вместо того, чтобы рассказывать много и нудно, проще привести кратенько сами решения.
Начнем с Пуазейля.
Рассматривается стационарное течение в трубе круглого поперечного сечения. Для такого случая уравнение Навье в полярных координатах
$$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left ( r \frac{dv}{dr} \right) = - \frac{\Delta p}{\eta l}$$
здесь $\Delta p$ не оператор Лапласа, а разность давлений на концах трубы - это следует из того, что для таких течений $$\frac{dp}{dx}=0$$.
Интегрируем
$$v=- \frac{\Delta p}{4 \eta l} r^2 + a \ln r + b \eqno(*)$$
$a=0$ из требований конечности решения
$v(r=R)=0$ откуда
$$\boxed{v=- \frac{\Delta p}{4 \eta l} (R^2 - r^2)}$$
Вот решение Пуазейля - параболический закон распределения скорости по сечению трубы.
Как видно, это случай стационарного течения вязкой жидкости по трубе постоянного кругового сечения.

Теперь Бернулли. Берем уравнение движения в форме Громеки-Лэмба
$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \text{grad} (\Pi + v^2/2+ H) + \text{rot} \vec v \times \vec v =0$$
При стационарном течении имеем, очевидно
$$\text{grad} (\Pi + v^2/2+ H) + \text{rot} \vec v \times \vec v =0$$
Умножаем на $\vec v$ скалярно
$$ \vec v \cdot \text{grad} (\Pi + v^2/2+ H)=0$$
т.е. $$\frac{d}{dl}(\Pi + v^2/2+ H)=0$$, где $d/dl$ - производная по направлению линии тока.
Вот и уравнение Бернулли. Оно справедливо для стационарного течения идеальной жидкости в любой области. Если мы рассмотрим круговую трубу, то это закон описывающий движение вдоль трубы (куда направлены линии тока). Поэтому к уравнению Пуазейля это никакого отношения не имеет, да это, в общем, понятно и на пальцах.

Если же Вы хотите посмотреть, что будет с уравнением Пуазейля, если положить вязкость равной нулю, например таким способом $\eta = 0$, то оно не будет справедливо, потому что до момента вывода основного уравнения мы поделили обе части на $\eta$ в предположении, естественно, что $\eta \ne 0$. Но если не делить, то первого члена в решении у Вас не будет и Вы просто получите вместо решения $(*)$ такое решение
$$v=b=const$$
чего, естественно, и следовало ожидать.
В общем, это вещи довольно очевидные и понятные на пальцах. Уравнения я тут написал больше для убедительности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.04.2009, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Парджеттер, спасибо за объяснение.

Мне кажется, что Serguey хотел понять, что будет происходить с уравнением Пуазейля в случае идеальной жидкости.

Скорость вязкой жидкости в трубе увеличивается от нуля у стенок до максимума в центре сечения. Для идеальной жидкости скорость постоянна в любой точки сечения. Но в уравнении Пуазейля не удаётся получить постоянную скорость при устремлении к нулю вязкости.

Я по Вашему последнему абзацу разобрался, в чём дело. Просто к идеальной жидкости уравнение Пуазейля неприменимо. Ведь мы при выводе используем то, что скорость у стенок равна 0. Приравнивать вязкость к нулю надо ещё до вывода уравнения, и тогда будет видно постоянство скоростей на поперечном сечении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group