Я думаю, что дело в том, что уравнение Пуазейля (в некотором виде) являются решением уравнений Навье-Стокса в частном случае для ламинарного течения в длинной узкой цилиндрической трубе.
А уравнения Бернулли решением уравнения Эйлера для стационарного течения идеальной жидкости.
Дифференциальные уравнения НС имеют второй порядок, а Эйлера первый. Причём не являются предельным случаем НС при устремлении вязкости к 0
Самому интересно, так ли это. Могу сильно ошибаться.
Думаю, вместо того, чтобы рассказывать много и нудно, проще привести кратенько сами решения.
Начнем с Пуазейля.
Рассматривается стационарное течение в трубе
круглого поперечного сечения. Для такого случая уравнение Навье в полярных координатах
здесь
не оператор Лапласа, а разность давлений на концах трубы - это следует из того, что для таких течений
.
Интегрируем
из требований конечности решения
откуда
Вот решение Пуазейля - параболический закон распределения скорости по сечению трубы.
Как видно, это случай
стационарного течения вязкой жидкости по трубе постоянного кругового сечения.
Теперь Бернулли. Берем уравнение движения в форме Громеки-Лэмба
При стационарном течении имеем, очевидно
Умножаем на
скалярно
т.е.
, где
- производная по направлению линии тока.
Вот и уравнение Бернулли. Оно справедливо для стационарного течения идеальной жидкости в любой области. Если мы рассмотрим круговую трубу, то это закон описывающий движение вдоль трубы (куда направлены линии тока). Поэтому к уравнению Пуазейля это никакого отношения не имеет, да это, в общем, понятно и на пальцах.
Если же Вы хотите посмотреть, что будет с уравнением Пуазейля, если положить вязкость равной нулю, например таким способом
, то оно не будет справедливо, потому что до момента вывода основного уравнения мы поделили обе части на
в предположении, естественно, что
. Но если не делить, то первого члена в решении у Вас не будет и Вы просто получите вместо решения
такое решение
чего, естественно, и следовало ожидать.
В общем, это вещи довольно очевидные и понятные на пальцах. Уравнения я тут написал больше для убедительности.