Уравнения Бернулли и Пуазейля.

[Serguey]

Не могу понять следующую вещь. Есть у нас уравнение Бернулли, полученное для ламинарного течения несжимаемой жидкости без вязкости. А есть уравнение Пуазейля, которое эту вязкость учитывает. Но если в этой формуле устремить вязкость к нулю, то Бернулли ну никак не получается. В чем тут дело?

[Парджеттер]

Serguey в сообщении #207251 писал(а):

Есть у нас уравнение Бернулли, полученное для ламинарного течения несжимаемой жидкости без вязкости. А есть уравнение Пуазейля, которое эту вязкость учитывает. Но если в этой формуле устремить вязкость к нулю, то Бернулли ну никак не получается. В чем тут дело?

В том, что Вы с головой не дружите. Уравнение Бернулли это частный вид интеграла движения, а Пуазейля - это распределение скоростей по радиусу. Как из одного может получиться другое я вообще понять не могу.

[gris]

Я думаю, что дело в том, что уравнение Пуазейля (в некотором виде) являются решением уравнений Навье-Стокса в частном случае для ламинарного течения в длинной узкой цилиндрической трубе.
А уравнения Бернулли решением уравнения Эйлера для стационарного течения идеальной жидкости.
Дифференциальные уравнения НС имеют второй порядок, а Эйлера первый. Причём не являются предельным случаем НС при устремлении вязкости к 0

Самому интересно, так ли это. Могу сильно ошибаться.

[Парджеттер]

gris в сообщении #207288 писал(а):

Я думаю, что дело в том, что уравнение Пуазейля (в некотором виде) являются решением уравнений Навье-Стокса в частном случае для ламинарного течения в длинной узкой цилиндрической трубе.
А уравнения Бернулли решением уравнения Эйлера для стационарного течения идеальной жидкости.
Дифференциальные уравнения НС имеют второй порядок, а Эйлера первый. Причём не являются предельным случаем НС при устремлении вязкости к 0

Самому интересно, так ли это. Могу сильно ошибаться.

Думаю, вместо того, чтобы рассказывать много и нудно, проще привести кратенько сами решения.
Начнем с Пуазейля.
Рассматривается стационарное течение в трубе круглого поперечного сечения. Для такого случая уравнение Навье в полярных координатах

$$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left ( r \frac{dv}{dr} \right) = - \frac{\Delta p}{\eta l}$$

здесь $\Delta p$ не оператор Лапласа, а разность давлений на концах трубы - это следует из того, что для таких течений

$$\frac{dp}{dx}=0$$

.
Интегрируем

$$v=- \frac{\Delta p}{4 \eta l} r^2 + a \ln r + b \eqno(*)$$

$a=0$ из требований конечности решения
$v(r=R)=0$ откуда

$$\boxed{v=- \frac{\Delta p}{4 \eta l} (R^2 - r^2)}$$

Вот решение Пуазейля - параболический закон распределения скорости по сечению трубы.
Как видно, это случай стационарного течения вязкой жидкости по трубе постоянного кругового сечения.

Теперь Бернулли. Берем уравнение движения в форме Громеки-Лэмба

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \text{grad} (\Pi + v^2/2+ H) + \text{rot} \vec v \times \vec v =0$$

При стационарном течении имеем, очевидно

$$\text{grad} (\Pi + v^2/2+ H) + \text{rot} \vec v \times \vec v =0$$

Умножаем на $\vec v$ скалярно

$$ \vec v \cdot \text{grad} (\Pi + v^2/2+ H)=0$$

т.е.

$$\frac{d}{dl}(\Pi + v^2/2+ H)=0$$

, где $d/dl$ - производная по направлению линии тока.
Вот и уравнение Бернулли. Оно справедливо для стационарного течения идеальной жидкости в любой области. Если мы рассмотрим круговую трубу, то это закон описывающий движение вдоль трубы (куда направлены линии тока). Поэтому к уравнению Пуазейля это никакого отношения не имеет, да это, в общем, понятно и на пальцах.

Если же Вы хотите посмотреть, что будет с уравнением Пуазейля, если положить вязкость равной нулю, например таким способом $\eta = 0$, то оно не будет справедливо, потому что до момента вывода основного уравнения мы поделили обе части на $\eta$ в предположении, естественно, что $\eta \ne 0$. Но если не делить, то первого члена в решении у Вас не будет и Вы просто получите вместо решения $(*)$ такое решение

$$v=b=const$$

чего, естественно, и следовало ожидать.
В общем, это вещи довольно очевидные и понятные на пальцах. Уравнения я тут написал больше для убедительности.

[gris]

Парджеттер, спасибо за объяснение.

Мне кажется, что Serguey хотел понять, что будет происходить с уравнением Пуазейля в случае идеальной жидкости.

Скорость вязкой жидкости в трубе увеличивается от нуля у стенок до максимума в центре сечения. Для идеальной жидкости скорость постоянна в любой точки сечения. Но в уравнении Пуазейля не удаётся получить постоянную скорость при устремлении к нулю вязкости.

Я по Вашему последнему абзацу разобрался, в чём дело. Просто к идеальной жидкости уравнение Пуазейля неприменимо. Ведь мы при выводе используем то, что скорость у стенок равна 0. Приравнивать вязкость к нулю надо ещё до вывода уравнения, и тогда будет видно постоянство скоростей на поперечном сечении.