Найти сумму прогрессии

[Immortal Technique]

Здравствуте, помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.
Требуется найти сумму прогрессии

$$ \frac 1 2+\frac 3 4+\frac 5 8+...+\frac {2n-1} {2^n}$$

[Brukvalub]

Так это не прогрессия, значит и искать ничего не надо.

[ewert]

Не надо так шутить. А надо просто разбить на сумму двух слагаемых, одно из которых -- воистину прогрессия, другое же сводится к производной той прогрессии по её знаменателю.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #207540 писал(а):

Не надо так шутить.

А я и не шутил. Неужели Вы,
ewert, думаете, что предложенная для суммирования последовательность является прогрессией?

[ewert]

Я в подобных случаях вообще предпочитаю не думать. Ну прогрессия -- пусть и прогрессия. Жалко, что ли?... Смысла-то в этом термине всё равно никакого.

[Хорхе]

ewert писал(а):

другое же сводится к производной той прогрессии по её знаменателю.

Для вычисления таких сумм производных не надо (так говорил Оккам). Достаточно эту сумму умножить на $2$ и отнять ее же (только отнять хитро). Тогда получится два числа + сумма геометрической прогрессии.

[ewert]

Хорхе в сообщении #207596 писал(а):

(только отнять хитро).

Так кто из нас Оккам?

[gris]

А ежели кто не знает производных, то нетрудно обобщить примерчик:

$$ S=\frac12+\frac34+\frac58+\frac7{16}+\frac9{32}= $$

$$=\frac12+\frac24+\frac14+\frac28+\frac38+\frac2{16}+\frac5{16}+\frac2{32}+\frac7{32}=$$

$$=\frac12+\left(\frac24+\frac28+\frac2{16}+\frac2{32}\right)+\left(\frac14+\frac38+\frac5{16}+\frac7{32}+\frac9{64}\right)-\frac9{64}=$$

$$=\frac12+\left(\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}\right)+\frac12\left(\frac12+\frac34+\frac58+\frac7{16}+\frac9{32}\right)-\frac9{64}=$$

$$=\frac12+\left(1-\frac1{16}\right)+\frac12S-\frac9{64}=$$

$$=\frac{83}{64}+\frac12S$$

Впрочем, это и предполагалось у предыдущих консультантов.

[Хорхе]

gris писал(а):

А ежели кто не знает производных, то нетрудно обобщить примерчик:
....
Впрочем, это и предполагалось у предыдущих консультантов.

Собственно, это я и предлагал сделать, только лень было написать так подробно

[gris]

Хорхе писал(а):

gris писал(а):

А ежели кто не знает производных, то нетрудно обобщить примерчик:
....
Впрочем, это и предполагалось у предыдущих консультантов.

Собственно, это я и предлагал сделать, только лень было написать так подробно

Собственно я и предполагал, когда на всякий случай дописал фразу о своём предположении, которое собственно не даже и моё предположение, ведь я и не сомневался, что будут такие предположения, но только от других предлагавших.

[Immortal Technique]

Спасибо всем
У меня вышло

$$ \frac 1 2+\frac 3 4+\frac 5 8+...+\frac {2n-1} {2^n}=3-\frac {2n+3} {2^n}$$

Только вот я не особо понял про способ с производной.. Можете пояснить?

[RIP]

Immortal Technique в сообщении #207686 писал(а):

Только вот я не особо понял про способ с производной.. Можете пояснить?

Продифференцируйте

$$\sum_{n=0}^{N-1}q^n=\frac{1-q^N}{1-q}$$

по $q$.

[Immortal Technique]

Ммм.. а как ряд дифференцировать? Или это уже вузовская программа?

[gris]

Почленно

$$(1+q+q^2+q^3+...)'=0+1+2q+3q^2+...$$

[RIP]

Immortal Technique в сообщении #207695 писал(а):

Ммм.. а как ряд дифференцировать?

Где Вы там ряд увидели? Или Вы со значком суммы не знакомы?

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Тогда дифференцируйте равенство

$$1+q+q^2+\ldots+q^{N-1}=\frac{1-q^N}{1-q}.$$