Максимум модуля от многочлена от нескольких переменных.

[Nilenbert]

Пусть $P(z_1, ..., z_n)$ - многочлен от $n$ комплексных переменных. Верно ли, что

$$ \max_{|z_1|\le 1, ..., |z_n|\le 1}|P(z_1, ..., z_n)|=\max_{|z_1|=1, ..., |z_n|=1}|P(z_1, ..., z_n)| $$

? Я рассуждаю так. Во-первых очевидно, что максимум существует, так как мы ищем наибольшее значение на компакте. Во-вторых, предположим, что максимум достигается не на границе, т.е. при неких $z_1^{*}$, ..., $z_n^{*}$, причём существует такое $j$, что $|z_j^{*}|<1$ . Тогда рассмотрим $f(z)=P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z, z_{j+1}^{*},...)$ Это будет аналитическая функция от $z$. Будем искать $\max_{|z|\le 1}|f(z)|$. Очевидно, что

$$ $\max_{|z|\le 1}|f(z)|$=|P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z_j^{*}, z_{j+1}^{*},...)| $$

и достигается при $z=z_j^{*},|z_j^{*}|<1$. Но это противоречит принципу максимума(если функция постоянна - то тогда максимум достигается в том числе и на границе, так что это не противоречит нашему доказываемому утверждению.) Получаем противоречие, и значит $|z_j|=1\forall j$. Правильно ли такое рассуждение?

[Brukvalub]

Интересно, а как Вы научились сравнивать комплексные числа?

[Nilenbert]

Исправил.

[Brukvalub]

Известен и более общий факт: границей Шилова поликруга является его остов.
Так что все верно.