2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Максимум модуля от многочлена от нескольких переменных.
Сообщение22.04.2009, 17:15 
Аватара пользователя
Пусть $P(z_1, ..., z_n)$ - многочлен от $n$ комплексных переменных. Верно ли, что
$$
\max_{|z_1|\le 1, ..., |z_n|\le 1}|P(z_1, ..., z_n)|=\max_{|z_1|=1, ..., |z_n|=1}|P(z_1, ..., z_n)|
$$
? Я рассуждаю так. Во-первых очевидно, что максимум существует, так как мы ищем наибольшее значение на компакте. Во-вторых, предположим, что максимум достигается не на границе, т.е. при неких $z_1^{*}$, ..., $z_n^{*}$, причём существует такое $j$, что $|z_j^{*}|<1$ . Тогда рассмотрим $f(z)=P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z, z_{j+1}^{*},...)$ Это будет аналитическая функция от $z$. Будем искать $\max_{|z|\le 1}|f(z)|$. Очевидно, что
$$
$\max_{|z|\le 1}|f(z)|$=|P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z_j^{*}, z_{j+1}^{*},...)|
$$
и достигается при $z=z_j^{*},|z_j^{*}|<1$. Но это противоречит принципу максимума(если функция постоянна - то тогда максимум достигается в том числе и на границе, так что это не противоречит нашему доказываемому утверждению.) Получаем противоречие, и значит $|z_j|=1\forall j$. Правильно ли такое рассуждение?

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:17 
Аватара пользователя
Интересно, а как Вы научились сравнивать комплексные числа? :shock:

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:24 
Аватара пользователя
Исправил.

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:46 
Аватара пользователя
Известен и более общий факт: границей Шилова поликруга является его остов.
Так что все верно.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group