целые значения выражений с радикалами

[ljubarcev]

Речь действительно идёт о корнях кубического уравнения, в этом смысле все верно, кроме замечания Незваного гостя –« То есть на самом деле корней то ещё более, аккурат 9»..
Это уже кощунство. У кубического уравнения корней всегда 3. Речь на самом деле идет о другом.
Возьмем кубическое уравнение с целыми коэффициентами
$x^3+px+g = 0$ .
Определим свойства коэффициентов $p$ и $g$, при которых ВСЕ уравнения этого вида будут иметь вещественный корень равный 1. Ясно, что при x = 1 уравнение принимает вид $1+p+g=0$, откуда находим, что должно быть:
$g=-(p+1)$. Таким образом приходим к выводу, что при любом $p$ уравнение $x^3+px-(p+1)=0$ имеет действительный корень равный 1. В то же время формула Кардано дает для этого единственного действительного корня выражение :

$$\sqrt[3]{(p+1)/2+\sqrt {((p+1)/2)^2+p^3/27}}+\sqrt[3]{(p+1)/2-\sqrt{((p+1)/2)^2+p^3/27}}$$

(2)
Отсюда, согласно логики, делаем вывод , что при любом целом $p$ полученное выражение равно 1. Приведенная ранее формула получается, если взять $p=3(2a-1)$ (частный случай для упрощения вида выражения).
Так как количество целых чисел $p$ бесконечно, то приходим к утверждению №1:
Единица может быть представлена разностью двух действительных чисел , являющихся кубическими иррациональностями, бесконечным количеством пар таковых.
Именно разностью , так как при любом целом p число
(p+1)/2 меньше числа $\sqrt{(p+1)/2)^2 + p^3/27}$.
Так что Единица- это совсем не просто.
Дед.

[незваный гость]

ljubarcev писал(а):

Речь действительно идёт о корнях кубического уравнения, в этом смысле все верно, кроме замечания Незваного гостя –« То есть на самом деле корней то ещё более, аккурат 9»..
Это уже кощунство. У кубического уравнения корней всегда 3.

У кубического уравнения корней всегда три. Выражение же $\sqrt [3]{3a-1+ a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$ ничто не заставляет интерпретировать как корень кубического уравнения. Извлекая же независимо каждый из кубических корней, мы получаем аккурат 9 вариантов.

В моем замечании

Цитата:

В-третьих, я слукавил -- на самом деле, $x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)\sqrt[3]{1}$. То есть, на самом деле корней-то еще больше, аккурат 9.

Вы не заметили $\sqrt[3]{1}$. То, что выглядит как кубическое уравнение -- на самом деле семейство уравнений (определяемых разными значениями корня). То есть, исходное $x$ удовлетворяет одному из трех.

[ljubarcev]

Цитата:

Незванный гость писал (а): Выражение же $\sqrt [3]{3a-1+ a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$ ничто не заставляет интерпретировать как корень кубического уравнения. Извлекая же независимо каждый из кубических корней, мы получаем аккурат 9 вариантов.

В моем замечании

Цитата:

В-третьих, я слукавил -- на самом деле, $x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)\sqrt[3]{1}$. То есть, на самом деле корней-то еще больше, аккурат 9.

Вы не заметили $\sqrt[3]{1}$. То, что выглядит как кубическое уравнение -- на самом деле семейство уравнений (определяемых разными значениями корня). То есть, исходное $x$ удовлетворяет одному из трех.

Все таки вы меня не поняли. Все уравнения вида $x^3+px - (p+1)=0$ , а их бесконечное множество ввиду бесконечности ряда натуральных чисел $p$, при любом целом $p>1$ имеют один действительный корень $x_1=1$. Если рассуждать по Вашему , то «корней» получается не 9 , а бесконечное количество,
что конечно не верно, так как противоречит Основной теореме алгебры.
В этой теме интересно мнение Уважаемой публики по поводу приведенного ранее
утверждения №1.
Дед.

[Руст]

Мнение посторонних.
Я уже указывал, что если под квадратным корнем не положительное число, то каждому варианту выбора кубического корня соответствует правильный выбор (комплексно сопряжённый) второго кубического корня, который даёт действительное значение выражения и он равен 1 (трижды для всех возможных выборов первого).

[ljubarcev]

Руст прав. Все уравнения вида $x^3+3(2a-1)x -2(3a-1)=0$ имеют три корня –один $x_1=1$ и два комплексных сопряженных. Рассмотрим корни $x_1$ при $a=1, 2, 3, 4,,,$ и получим, что $1=\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}=$ $\sqrt[3]{5+2\sqrt 13}+\sqrt[3]{5-2\sqrt 13}=$ $\sqrt[3]{8+3\sqrt 21}+\sqrt[3]{8-3\sqrt 21}=$ $\sqrt[3]{11+4\sqrt 29}+\sqrt[3]{11-4\sqrt 29}…$ и так до бесконечности.
Следовательно: 1. Так как каждая из этих пар сумм кубических иррациональностей равна 1, то все они равны и между собой.
2. Так как все эти пары сумм кубических иррациональностей равны между собой, то каждая из них является корнем любого уравненияя рассматриваемого вида (при любом $a$/.
3. Так как каждая из этих пар сумм кубических иррациональностей равна 1, то любая из них в любой степени равна любой другой в любой другой степени.
Дед.

[ljubarcev]

Странное молчание. Придётся добавить.
$2=\sqrt[3]{7+5\sqrt 2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt 2}=$ $\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt 3}=$ $\sqrt[3]{16+8\sqrt 5}+\sqrt[3]{16-8\sqrt 5}=$ $\sqrt[3]{19+9\sqrt 6}+\sqrt[3]{19-9\sqrt 6}=... $и так до бесконечности.
Дед.

Разбивайте, пожалуйста, длинные цепочки формул. И посмотрите, как изменено это и предыдущее сообщение. // нг

[ljubarcev]

Утверждение 3:Любое целое число можно представить в виде суммы двух кубических иррациональностей.
Способ такого представления дается приведенным ниже тождеством.

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2+(3ba^2+cb^3)\sqrt c} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2-(3ba^2+cb^3)\sqrt c}$$

.
Так как это именно тождество , то выражение справедливо при любых значениях чисел $a, b, c$ и, следовательно, выбирая любую пару чисел $b, c$, мы получим бесконечное количество представлений заданного числа $a$ в виде суммы (разности) двух действительных чисел, являющихся кубическими иррациональностями. Например, при $a=b=c= 5$ получаем приведенное ранее $\sqrt[3]{\sqrt 5+2}-\sqrt[3]{\sqrt 5-2}=1$.
Дед.

[maxal]

Пусть

$$x=\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2+(3ba^2+cb^3)\sqrt c} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2-(3ba^2+cb^3)\sqrt c}.$$

Возводя обе части в куб получаем этого равенства в куб получаем, что x удовлетворяет уравнению $2x^3 - 3(a^2-b^2c)x - (a^3+3ab^2c)=0$ или $(x-a)\cdot (2 x^2 + 2 a x + 3 b^2 c - a^2)=0$.
Земетим, что дискриминант квадратного сомножителя равен $12 a^2 - 24 b^2 c$. Поэтому в случае $a^2 < 2 b^2 c$ мы имеем единственный действительный корень $x=a$.
Остается рассмотреть случай $a^2 > 2 b^2 c$.

[maxal]

Немного другой подход дает полное доказательство:

Пусть $u=\sqrt[3]{a^3+3acb^2+(3ba^2+cb^3)\sqrt c}$ и $v=\sqrt[3]{a^3+3acb^2-(3ba^2+cb^3)\sqrt c}$.
Тогда $u^3+v^3=2(a^3+3acb^2)$ и $uv=a^2-b^2c$. Нам нужно доказать, что $u+v=2a$. Предположим противное, т.е., что $2a\ne u+v$.

Рассмотрим разность

$$(2a)^3-(u+v)^3=8a^3 - (u^3+v^3) - 3uv(u+v) = 3(a^2-b^2c) (2a - (u+v)) = 3uv (2a - (u+v))$$

.
Сократим обе части на $2a - (u+v)\ne 0$, получим равенство:
$4a^2 + 2a(u+v) + (u+v)^2 - 3uv = 0.\qquad (*)$
Дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $a$ равен:
$4(u+v)^2 - 16(u+v)^2 + 48uv = 12(4uv - (u+v)^2) = -12 (u-v)^2$.
Так как равенство (*) выполнятся, то с необходимостью получаем, что $u=v$. Но тогда либо $c=0$, либо $b=0$. И в любом случае получаем $2a=u+v$. Полученное противоречие доказывает, что $2a=u+v$.

[ljubarcev]

Maxal! Спасибо. Красиво и доступно! Интересно было бы рассмотреть в порядке ответа на «замечание о формуле Кардано» стр. 22 в книге С.Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках». Москва, Наука, 1985г. где предлагается доказать, что $1=\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}$ другим способом. Отсюда , собственно, и родилась тема. Но речь идет не о доказательстве, а о том, что следует, если это считать доказанным.
Равенство:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2+(3ba^2+cb^3)\sqrt c} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2-(3ba^2+cb^3)\sqrt c}$$
.
является тождеством, справедливо оно «по построению» и при любых значениях чисел a, b и c. Если теперь взять $c$ отрицательным $c=-d$, то получим утверждение 4: Любое натуральное число можно представить в виде суммы двух кубических корней из комплексных чисел:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3-3adb^2+j(3ba^2-db^3)\sqrt d} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3-3adb^2-j(3ba^2-db^3)\sqrt d}$$
.
Ясно, что количество таких представлений бесконечно.
Дед.

[maxal]

ljubarcev писал(а):

Интересно было бы рассмотреть в порядке ответа на «замечание о формуле Кардано» стр. 22 в книге С.Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках». Москва, Наука, 1985г. где предлагается доказать, что $1=\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}$ другим способом.

Кстати, новое расширенное издание 2001 года книжки Гиндикина свободно доступно на сервере МЦ НМО: http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/

[PAV]

PAV:

Перенесено в дискуссионный раздел по просьбе автора

[ljubarcev]

В соответствии с изложенным ранее, долно быть справедливым утверждение:
Любое натуральное число $a$ представимо в виде суммы (разности) двух иррациональных чисел любой степени иррациональности бесчисленным количеств пар таких иррациональных чисел.
Способ нахождения таких пар иррациональных чисел дается нижеследующим тождеством.

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[n]{a^n+C_n^2a^{n-2}b^2c+\dots+C^{n-3}_na^3b^{n-3}c^{\frac{n-3}{2}}+nab^{n-1}c^{\frac{n-1}{2}}+{(na^{n-1}b+C_n^3a^{n-3}b^3c+\dots+C_n^3a^2b^{n-2}c^{\frac{n-2}{2}}+nab^{n-1}c^{\frac{n-1}{2}})}\sqrt[2]c}$$

$$+\frac{1}{2}\sqrt[n]{a^n+C_n^2a^{n-2}b^2c+\dots+C^{n-3}_na^3b^{n-3}c^{\frac{n-3}{2}}+nab^{n-1}c^{\frac{n-1}{2}}-{(na^{n-1}b+C_n^3a^{n-3}b^3c+\dots+C_n^3a^2b^{n-2}c^{\frac{n-2}{2}}+nab^{n-1}c^{\frac{n-1}{2}})}\sqrt[2]c}$$

Это справедливо и для представления единицы, так как делением всего равенства на $2a$ слева получим $1$. а справа сумму двух иррациональных чисел.
Дед.

[maxal]

В более компактной форме это тождество выглядит так:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(a+b\sqrt{c})^n + (a-b\sqrt{c})^n}{2} + \frac{(a+b\sqrt{c})^n - (a-b\sqrt{c})^n}{2\sqrt{c}}\sqrt{c}}\quad +$$

$$+\quad \frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(a+b\sqrt{c})^n + (a-b\sqrt{c})^n}{2} - \frac{(a+b\sqrt{c})^n - (a-b\sqrt{c})^n}{2\sqrt{c}}\sqrt{c}}.$$

И в такой форме оно становится очевидно: после приведения подобных под первым корнем получается $(a+b\sqrt{c})^n$, а под вторым $(a-b\sqrt{c})^n.$ Соответственно, после извлечения корней получаем: $\frac{1}{2}(a+b\sqrt{c})+\frac{1}{2}(a-b\sqrt{c})=a.$

[ljubarcev]

maxal писал(а):

В более компактной форме это тождество выглядит так:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(a+b\sqrt{c})^n + (a-b\sqrt{c})^n}{2} + \frac{(a+b\sqrt{c})^n - (a-b\sqrt{c})^n}{2\sqrt{c}}\sqrt{c}}\quad +$$

$$+\quad \frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(a+b\sqrt{c})^n + (a-b\sqrt{c})^n}{2} - \frac{(a+b\sqrt{c})^n - (a-b\sqrt{c})^n}{2\sqrt{c}}\sqrt{c}}.$$

И в такой форме оно становится очевидно: после приведения подобных под первым корнем получается $(a+b\sqrt{c})^n$, а под вторым $(a-b\sqrt{c})^n.$ Соответственно, после извлечения корней получаем: $\frac{1}{2}(a+b\sqrt{c})+\frac{1}{2}(a-b\sqrt{c})=a.$

Maxal ! Все правильно, коротко и доходчиво.
Приведу в качестве подтверждения следующее рассуждение.
Выполним знакомое всем построение. Когда мы берем бесконечную плоскость, а в натуре, просто лист бумаги, проводим произвольно прямую линию, на линии в произвольном месте ставим точку, обозначаем её как $0$ – это рисунок ещё ничего не значит. Называем $0$ - точкой отсчета. Это тоже пока ничего не даёт и это ещё не математика. Только и только когда мы выберем Единицу (масштаб) – построение позволяет изобразить любые числа . Известно, что любая точка на линии (оси) будет действительным числом, любая точка на плоскости будет комплексным числом.
Если теперь взять отрезок равный $1$ и расположить его на оси, так что бы один его конец совпал с целым числом $N$, то другой его конец совпадёт с точкой, изображающей число $N+1$. Так как количество чисел $N$ бесконечно, то и количество представлений $1$ в виде разности двух действительных чисел бесконечно.
Если тот же отрезок равный $1$ расположить на оси так, чтобы он совпал с каким то действительным иррациональным числом, то другой конец отрезка совпадет с другим действительным числом и разность между этими действительными числами будет равна $1$. Так как таковых положений отрезка $1$ бесконечное количество, то и число представлений Единицы в виде разности двух действительных чисел бесконечно.
Если тот же отрезок равный $1$ расположить на плоскости вне оси параллельно ей, то один его конец совпадёт с каким-то одним комплексным числом, а другой с другим и разность между двумя комплексными числами будет равна $1$. Так как таковых положений отрезка $1$ бесконечное количество, то и число представлений Единицы в виде разности двух комплексных чисел бесконечно.
Но ведь мы вправе взять отрезок равным любому целому или иррациональному числу (имея $1$ мы всегда можем найти (построить) бесконечное количество таких отрезков) и приведенные простые (можно сказать – примитивные) рассуждения будут справедливы и в этих случаях. Следовательно, любое целое число может быть представлено в виде разности (суммы) или двух целых чисел, или разности двух действительных иррациональных чисел любой степени иррациональности, или разности двух комплексных чисел бесконечным количеством таких разностей (сумм). Способы нахождения таких представлений ясны из приведенного ранее. Нужна критика!
Дед.