2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по алгебре (алгоритм Видемана)
Сообщение21.04.2009, 13:27 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Разбираюсь с обоснованием алгоритма Видемана решения СЛАУ над конечным полем и возникает множество вопросов. Прошу участников форума дать хотя бы краткие пояснения, способствующие пониманию проблемы.
1. Пусть $A$ --- матрица размерности $n$ на $n$ над полем $GF(q)$, $b$ --- вектор длины $n$ над полем $GF(q)$, $b \ne 0$. Требуется решить систему $$Ax=b$$. Рассматривается пространство $S$, порожденное множеством векторов $\{A^ib\,|\,i=0,1,2,\ldots\}.$ Что такое пространство, порожденное множеством векторов? Это множество различных векторов в последовательности $\{A^ib\},$ или же это еще и вектора полученные при помощи линейной комбинации последних?
2. Далее вводится $A_s$ --- линейное отображние $S$ на $S$. Также вводится $f(z)$ --- минимальный многочлен $A_s$ со свободным членом, равным $1$. Что такое минимальный многочлен некоторого отображения?
3. Если $g(z) \in \mathbb{K}\Left[z\Right],$ то $g(A_s)$ --- нулевое отображение $S$ $\Leftrightarrow$ $g(A)b=0$. Почему это так?

P.S. Как в $\TeX$ правильно записать "$n$ на $n$" (вместо предлога должен стоять крест, похожий на букву x)?

Добавлено спустя 21 минуту 43 секунды:

4. Некоторое отступление. Вернемся к матрице A. Рассмотрим множество $\{I,A,A^2,A^3,..\}.$ В каком случае это множество является группой относительно операции умножения мартиц? По моему мнению, тогда и только тогда, когда $A$ --- обратима. Это циклическая группа? Чем определяется порядок этой группы? Ясно, что он не больше $$q^{n^2}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2009, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7135
Я не специалист в полях, но минимальный многочлен линейного отображения (и матрицы) рассматривается в любом курсе линейной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2009, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
$\times$ - крест, похожий на букву x

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2009, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
AndreyXYZ в сообщении #206668 писал(а):
Что такое пространство, порожденное множеством векторов? Это множество различных векторов в последовательности $\{A^ib\},$ или же это еще и вектора полученные при помощи линейной комбинации последних?

Второе. Ещё называется линейной оболочкой.

AndreyXYZ в сообщении #206668 писал(а):
3. Если $g(z) \in \mathbb{K}\Left[z\Right],$ то $g(A_s)$ --- нулевое отображение $S$ $\Leftrightarrow$ $g(A)b=0$. Почему это так?

Слева направо --- т.к. $b\in S$. Справа налево --- просто примените к равенству $g(A)b=0$ оператор $A$ достаточное кол-во раз.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2009, 21:20 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Всем спасибо! С вопросами разобрался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 08:16 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Пусть $R$ --- конечное коммутативное колько с единицей, $M_R$ --- правый $R$-модуль.
Что такое правый $R$-модуль?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Блин... Взял и откорректировал своё сообщение о модулях :)
Процитировал якобы...

Короче модуль это такая абелева группа с операцией умножения на элементы кольца справа или слева. Для коммутативных колец без разницы. Есть четыре аксиомы. Я их писал утром, но сейчас стёр случайно. Смотрите в учебнике по вышке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Аксиома (1) важна и для коммутативных колец.

Пусть $M=\mathbb Z$ (с обычным сложением), $R=\mathbb Z[x]$, и пусть для $m\in M$ и $r=r_0+r_1x+\ldots+r_nx^n$ по определению $m\circ r=mr_0+ 2m(r_1+\ldots+r_n)$ (здесь $\circ$ --- умножение, определяющее структуру $R$-модуля на $M$, остальные умножения стандартные из $\mathbb Z$). Для $M$ и $R$ выполняются все аксиомы модуля, кроме (1).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Разумеется важна. Я имел в виду, что для коммутативных колец

$$  m(r_1r_2)=(mr_1)r_2=(mr_2)r_1$$ и правый и левый модули будут просто совпадать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2009, 21:09 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Я успел прочесть аксиомы. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group