Вопросы по алгебре (алгоритм Видемана)

[AndreyXYZ]

Разбираюсь с обоснованием алгоритма Видемана решения СЛАУ над конечным полем и возникает множество вопросов. Прошу участников форума дать хотя бы краткие пояснения, способствующие пониманию проблемы.
1. Пусть $A$ --- матрица размерности $n$ на $n$ над полем $GF(q)$, $b$ --- вектор длины $n$ над полем $GF(q)$, $b \ne 0$. Требуется решить систему

$$Ax=b$$

. Рассматривается пространство $S$, порожденное множеством векторов $\{A^ib\,|\,i=0,1,2,\ldots\}.$ Что такое пространство, порожденное множеством векторов? Это множество различных векторов в последовательности $\{A^ib\},$ или же это еще и вектора полученные при помощи линейной комбинации последних?
2. Далее вводится $A_s$ --- линейное отображние $S$ на $S$. Также вводится $f(z)$ --- минимальный многочлен $A_s$ со свободным членом, равным $1$. Что такое минимальный многочлен некоторого отображения?
3. Если $g(z) \in \mathbb{K}\Left[z\Right],$ то $g(A_s)$ --- нулевое отображение $S$ $\Leftrightarrow$ $g(A)b=0$. Почему это так?

P.S. Как в $\TeX$ правильно записать "$n$ на $n$" (вместо предлога должен стоять крест, похожий на букву x)?

Добавлено спустя 21 минуту 43 секунды:

4. Некоторое отступление. Вернемся к матрице A. Рассмотрим множество $\{I,A,A^2,A^3,..\}.$ В каком случае это множество является группой относительно операции умножения мартиц? По моему мнению, тогда и только тогда, когда $A$ --- обратима. Это циклическая группа? Чем определяется порядок этой группы? Ясно, что он не больше

$$q^{n^2}.$$

[мат-ламер]

Я не специалист в полях, но минимальный многочлен линейного отображения (и матрицы) рассматривается в любом курсе линейной алгебры.

[gris]

$\times$ - крест, похожий на букву x

[RIP]

AndreyXYZ в сообщении #206668 писал(а):

Что такое пространство, порожденное множеством векторов? Это множество различных векторов в последовательности $\{A^ib\},$ или же это еще и вектора полученные при помощи линейной комбинации последних?

Второе. Ещё называется линейной оболочкой.

AndreyXYZ в сообщении #206668 писал(а):

3. Если $g(z) \in \mathbb{K}\Left[z\Right],$ то $g(A_s)$ --- нулевое отображение $S$ $\Leftrightarrow$ $g(A)b=0$. Почему это так?

Слева направо --- т.к. $b\in S$. Справа налево --- просто примените к равенству $g(A)b=0$ оператор $A$ достаточное кол-во раз.

[AndreyXYZ]

Всем спасибо! С вопросами разобрался.

[AndreyXYZ]

Пусть $R$ --- конечное коммутативное колько с единицей, $M_R$ --- правый $R$-модуль.
Что такое правый $R$-модуль?

[gris]

Блин... Взял и откорректировал своё сообщение о модулях
Процитировал якобы...

Короче модуль это такая абелева группа с операцией умножения на элементы кольца справа или слева. Для коммутативных колец без разницы. Есть четыре аксиомы. Я их писал утром, но сейчас стёр случайно. Смотрите в учебнике по вышке.

[lofar]

Аксиома (1) важна и для коммутативных колец.

Пусть $M=\mathbb Z$ (с обычным сложением), $R=\mathbb Z[x]$, и пусть для $m\in M$ и $r=r_0+r_1x+\ldots+r_nx^n$ по определению $m\circ r=mr_0+ 2m(r_1+\ldots+r_n)$ (здесь $\circ$ --- умножение, определяющее структуру $R$-модуля на $M$, остальные умножения стандартные из $\mathbb Z$). Для $M$ и $R$ выполняются все аксиомы модуля, кроме (1).

[gris]

Разумеется важна. Я имел в виду, что для коммутативных колец

$$ m(r_1r_2)=(mr_1)r_2=(mr_2)r_1$$

и правый и левый модули будут просто совпадать

[AndreyXYZ]

Я успел прочесть аксиомы. Спасибо.