МАТ
Уважаемый МАТ, попрошу Вас внимательно ознакомиться с предложенными выкладками и высказать свои суждения, замечания.
Ясно, что эта просьба относится и к другим участникам форума.
О прдставимости степеней натуральных чисел
суммами двух чисел в той же степени.
Обще известно, что при изучении сумм необходимо рассматривать только взаимно простые числа.
Сформулируем аксиому:
Сумма двух взаимно простых чисел взаимно проста с
каждым из слагаемых.
Если
взаимно просты, то и
взаимно просто и с
, и с
. Доказательство от противного. Предполагаем: пусть
не взаимно просто с
и имеет с ним общий множитель
, так что
а
. Тогда
Значит и
должно иметь множитель
т. е. быть не взаимно простым с числом
, что противоречит исходному.
Из этого следует, что если к сколь угодно составному числу прибавить единицу, или другое сколь угодно составное число, но с другими множителями, то в полученной сумме не окажется множителей, входящих в слагаемые.
КВАДРАТЫ.
Квадраты могут быть представлены суммой двух квадратов.
В этом утверждении ничего нового нет. Но метод, которым мы этого будем достигать отличается от известных и он нам понадобится в дальнейшем.
Из квадрата вычтем квадрат
. Разность
обозначим
, тогда
. Подставим это вместо
. И так разность квадратов представляется двояким образом. Это равносильные выражения.
Теперь задаемся вопросом: может ли разность квадратов быть равна квадрату? И для ответа на этот вопрос лучше подходит последнее выражение. Предположим
Тогда
. Анализируем
Слева четное число
, значит справа тоже должно быть четное число.
должно быть четным. Но, если
четно, то и
четно, и, наоборот, если не четны, то оба сомножителя . По этому, однозначно,
должно быть равно 2.
, тогда
. Тогда
. Тогда
. Слева
, справа
--это взаимно простые числа, поэтому
может принимать значения либо 1, либо 2.
, тогда
, тогда
, тогда
, тогда
.
А теперь остановимся и зададим себе такой вопрос: почему равенство
оказалось возможным, почему оно СОСТОЯЛОСЬ?! Оно состоялось потому, что слева только два сомножителя и ничто не мешает распределить между ними то, что находиться справа. Это очень важное утверждение. Здесь же добавим, что в этом равенстве можно левую и правую части умножить на любое (понятно одно и то же) число, от чего равенство сохраниться. Запишем
. Теперь числу
можно придавать значения
и т. д., и будем получать определенные значения
. И если эти значения подставить в
, то мы будем получать квадраты. И из этих же значений
состоит и
, квадрат которого представим суммой двух квадратов.
КУБЫ.
Куб не может быть представлен суммой двух кубов.
Из куба вычтем куб
. Обозначим
. Тогда
. В неполный квадрат подставим это значение
.
. Предположим, что сумма этих 3-х слагаемых равна кубу.
. Тогда
.
и
это взаимно простые числа по любому простому числу
, кроме
(Смотри П4 на первой странице темы). Поэтому наличие числа 3 слева однозначно обязывает разность
быть равной 3 или
, где
. Пусть
. Подставим
. Далее запишем
.
. Число в скобке справа можно записать
. При любом
не содержащем 3, сумма этих двух слагаемых взаимно проста с
(смотри аксиому)
И так в равенстве
число
слева и число
справа взаимно просты, поэтому
может принимать значения либо 1, либо 3.
Если
, тогда
. Слева при любом
число четное, справа нечетное. Равенство не возможно.
Если
, тогда
,
. Слева при любом
четное, справа нечетное. Равенство не возможно. Сравниваем с квадратами и утверждаем, что здесь равенство не состоялось по той причине, что слева здесь три сомножителя
. И множитель
не позволил равенству состояться, о чем мы говорим с сожалением.
Но мы здесь обнаружили и то, что число
определенно должно быть равно 3, или
. Но что такое
? Это же
. Таким образом, если мы будем брать числа
и
такие, что
, то разность их кубов не может быть равна кубу.
А теперь рассмотрим случай, когда
, если
, то
. Подставим это значение
в равенство
.
Окончательно запишем
. И задаемся тем же вопросом: может ли последнее выражение быть равно кубу?
. Слева есть множитель
, значит и справа должно быть множителю
и он должен быть и в
и в
. Положим
. Тогда
, и тогда
. И тогда запишем
. Поскольку
и
взаимно простые числа, то
в этом равентве может быть равно либо 1, либо 3. Если
, то
. Видим слева при любом
чет, справа нечет.
Если
то
. Слева чет, справа нечет. Таким образом равенство
невозможно. Это означает, что
кубу не равно.
Мы могли бы проделать аналогичные выкладки задавшись разностью
. Очевидно, что и в этом случае мы придем к такому же результату. Это означает, что разность
не может быть равна кубу, и мы вынуждены согласиться, что
не может быть равен сумме двух кубов.
5—ые СТЕПЕНИ.
a-b=c$
Подставим
или
. Но
. Произведение этих сомножителей должно содержать число 5, так как оно равно
. А это возможно если
, или
. Рассматриваем случай
, тогда
. Подставим это вместо
и после вычислений получим
.
Поскольку число
слева и число в скобке справа являются взаимно простыми числами (см. П4) , поэтому
может принимать значения либо 1 либо 5. И в том и другом случаях мы получим слева четное число, справа не четное. В точности так, как и у кубов. И поэтому мы можем сказать, что разность
, при
, пятой степени равно быть не может.
Рассмотрение случая, когда
приведет к тому же результату (как и у кубов), так что мы вынуждены согласиться, что и
невозможно записать суммой двух чисел в 5-ой степени.
7—ая СТЕПЕНЬ.
Если для 7—ых степеней проделать выкладки аналагичные кубам и 5-ой степ., то мы так же придем к равенству, у которого слева будет четное число, а справа нечетное и равенство не возможно. Таким образом и 7—ая степнь не представима суммой двух слагаемых в этой же степени. Из-за большой громоздскости выкладки я пока не привожу.
После сказанного становится понятным, что и для больших степеней
равных простым числам, окажется невозможным записать их суммой двух чисел в той же степени. А если такое правило присуще для простых показателей, то оно может быть рапространено и на составные числа, что обще известно.
Уважаемые участники форума, прошу внимательно рассмотреть предлагаемые обоснования с тем чтобы их или отклонить , или согласиться и отшлифовать.
С уважением Petern1.