Вот если честно, у меня никаких идей нет...собственно поэтому и спрашиваю..Мне интересно разобраться....
Ну, я Вам хорошую идею предложил. Подскажу дальше. Пусть

- то семейство, которое я
определил выше. Для каждой пары

зафиксируем элемент

, удовлетворяющий условию

. Покажите, что семейство

(не более чем) счётно и является базой.
Подумайте также над таким вопросом. Предположим, что топологическое пространство

имеет конечную базу

, и пусть

- любая база. Верно ли, что существует база

, удовлетворяющая условию

?