Задачи по топологии

[Арианна]

Здравствуйте!!!
Помогите разобраться с понятием базы...Счётной базы...
Есть следующая задачка:
1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой

[PAV]

Перенесено из корневого раздела

[Someone]

А какие у Вас есть идеи?

Вот, например, пусть $X$ - топологическое пространство, $\mathcal B$ - его (не более чем) счётная база, $\mathcal B'$ - любая база. Пусть $\mathscr A$ - множество таких упорядоченных пар $(U,V)$ элементов базы $\mathcal B$, для которых найдётся элемент $W\in \mathcal B'$, удовлетворяющий условию $U\subseteq W\subseteq V$. Как использовать семейство $\mathscr A$ для построения (не более чем) счётной базы $\mathcal B''\subseteq\mathcal B'$?

[Арианна]

Вот если честно, у меня никаких идей нет...собственно поэтому и спрашиваю..Мне интересно разобраться....
Просто я вообще не сталкивалась раньше с базами....
А тут вот пришлось...

[Виктор Викторов]

Арианна! Есть ли у Вас доступ к книге П.С. Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию"? В этой книге на странице 131 Вы найдёте нужную Вам теорему, правда, в более общем виде. Упомянутый в этой теореме вес топологического пространства -- "наименьшее кардинальное число, являющееся мощностью какой-либо базы пространства". Это определение Вы найдёте на странице 128.

[Арианна]

Я поробую найти эту книгу... Спасибо...

[id]

Доказав след. коротенькую лемму Линделефа можно получить док-во непосредственно:

Цитата:

В пространстве со счетной базой из любого открытого покрытия данного мн-ва можно выделить счетное подпокрытие.

( просто фиксируем в каждом элементе исходного произвольного покрытия множество всех его составляющих из счетной базы, объединением последних получаем некоторое подмножество счетной базы, обратно, для последнего выбираем по одному элементы исходного покрытия, в котором оно лежит )

В Вашей задаче можно будет, имея лемму, просто построить несчетные покрытия множеств из счетной базы - и для каждого множества из счетной базы выделить счетное подпокрытие множествами из данной базы.

[Арианна]

Ух ты....спасибо большое....
Буду обмазговывать....

[Someone]

Арианна в сообщении #206117 писал(а):

Вот если честно, у меня никаких идей нет...собственно поэтому и спрашиваю..Мне интересно разобраться....

Ну, я Вам хорошую идею предложил. Подскажу дальше. Пусть $\mathscr A$ - то семейство, которое я определил выше. Для каждой пары $(U,V)\in\mathscr A$ зафиксируем элемент $W_{U,V}\in\matcal B'$, удовлетворяющий условию $U\subseteq W\subseteq V$. Покажите, что семейство $\mathcal B''=\{W_{U,V}:(U,V)\in\mathscr A\}$ (не более чем) счётно и является базой.

Подумайте также над таким вопросом. Предположим, что топологическое пространство $X$ имеет конечную базу $\mathcal B$, и пусть $\mathcal B'$ - любая база. Верно ли, что существует база $\mathcal B''\subseteq\mathcal B'$, удовлетворяющая условию $|\mathcal B''|\leqslant|\mathcal B|$?

[Арианна]

Ну наверное может существовать такая база, которая удовлетворяет тому условию, что вы написали. [/code]

[Виктор Викторов]

Someone писал(а):

Подумайте также над таким вопросом. Предположим, что топологическое пространство $X$ имеет конечную базу $\mathcal B$, и пусть $\mathcal B'$ - любая база. Верно ли, что существует база $\mathcal B''\subseteq\mathcal B'$, удовлетворяющая условию $|\mathcal B''|\leqslant|\mathcal B|$?

Если у пространства есть конечная база, то и совокупность его открытых множеств конечна. Но тогда и все базы конечны. Существует наименьшая база, которая содержится во всех базах пространства.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #206751 писал(а):

которая содержится во всех базах пространства

Эту базу можно определить явно, причём, её мощность не превосходит мощности пространства $X$.

Арианна в сообщении #206733 писал(а):

Ну наверное может существовать такая база, которая удовлетворяет тому условию, что вы написали.

Это не ответ. Ну ладно, моя задача для Вас посторонняя. С первоначальной-то задачей Вы разобрались? Хоть одним из предложенных Вам способов?

[Арианна]

Ну на вашу постороннюю для меня задачу вам кажется ответили
А со своей задачей я не разобралась ещё. Я не думала, что всё это так сложно (по-крайней мере для меня). Какие-то леммы Линделёфа и т.д.
А в вашем расуждении, я так понимаю, что осталось только показать, что B с двумя штрихами - счётно и является базой!

[Someone]

Не отвлекайтесь на лемму Линделёфа, сосредоточьтесь на моём варианте. Тем более, если Вы найдёте рекомендованную Вам книгу П.С.Александрова, Вы обнаружите там именно такое рассуждение (для произвольного бесконечного веса). То, что Вам здесь осталось показать, делается в несколько строчек.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Арианна в сообщении #206835 писал(а):

Ну на вашу постороннюю для меня задачу вам кажется ответили

Было бы интереснее, если бы ответили Вы. Особенно если Вы хотите разобраться с базами.

[Виктор Викторов]

Someone писал(а):

Не отвлекайтесь на лемму Линделёфа, сосредоточьтесь на моём варианте. Тем более, если Вы найдёте рекомендованную Вам книгу П.С.Александрова, Вы обнаружите там именно такое рассуждение (для произвольного бесконечного веса). То, что Вам здесь осталось показать, делается в несколько строчек.

Уважаемый Someone!
Чем Вам не понравилось доказательство id? Красиво и просто. А доказательство из книги П.С.Александрова само собой надо знать.