Полугруппы: начинающий

[lofar]

Напишите, пожалуйста, определение регулярной полугруппы.

[Romashka]

$a\in aSa,\forall a \in S$

Что дальше делать?

[lofar]

Пусть $x\in A\cap B$. $S$ регулярна, значит найдется $s\in S$ такой, что $x=xsx$. Дальше попробуйте сами.

[Romashka]

$AB=K, K\subseteq B,K\subseteq A, K\subseteq A\cap B$
$x\in A\cap B$
$x=x(sx),x\in A,sx\in B,x(sx)\in AB$
$A\cap B\subseteq AB=K$
$K\subseteq A\cap B,A\cap B\subseteq K, A\cap B=AB$

обратно не выходит, получил следующее:

$A\cap B=AB$
$SS=S$
$xSS=xS$
$xS\cap Sx=xSSx=xSx$

не могу доказать $x\in xS,Sx$

[lofar]

А это, вообще говоря, не верно. Берите не $xS$, а идеал порожденный $x$, это $R(x)=\{x\}\cup xS$.

[Romashka]

$R(x)\cap L(x)=R(x)L(x)=\{xx,xSSx,xSx\}$
$xx\in xS\cap Sx=x(SS)x=xSx$
$x\in R(x)\cap L(x)=R(x)L(x)=xSx$
$x\in xS=R(x)$

Ваше "А это, вообще говоря, не верно" меня озадачивает. Поясните, пожалуйста, видимо, что я не совсем правильно решил.

[lofar]

Вообще говоря $x\notin xS$, вот, что я имел в виду (приведите пример).

В вашем последнем сообщении верны первая строчка и вторая, третья и 4-я неверны. Вернитесь обратно к 1-й строчке, от нее до ответа 1 шаг.

Если уж говорить абсолютно строго, то и первая строчка неверна. Вы написали, что $R(x)L(x)$ содержит элемент из $S$ и идеал из $S$, а это вещи разного уровня (исправьте эту неточность).

[Romashka]

Так как примера я не знаю видимо, видимо, будет опять ошибка.
$R(x)\cap L(x) = R(x)L(x) = \{x,xx,xSx\}$
1.$xx=x,xxx=x$
2.$xx\in xSx,x\in xSx$

3-е предложение не понял (может надо доказать, что $R(x)L(x)$-подполугруппа?).

Вообщем, все, в голову ничего не лезет, не знаю.

[lofar]

Romashka писал(а):

$\{x,xx,xSx\}$

Произведение идеалов является подмножеством в $S$ и не содержит $xSx$ в качестве своего элемента.

А пример найдите, он очевиден. Это самые основы. Не зная такого примера, дальше заниматься полугруппами бесполезно.

[Romashka]

Уважаемый lofar, покажите мне решение, ведь один шаг. Я просто уже не знаю.

Добавлено спустя 20 минут 49 секунд:

Понял.
По определнию $A\cap B=AB$
$R(x)\cap S = \{x,xS\} = R(x)S=R(x)=\{xS,(xS)S=xS\}$. Значит $xS=R(x)\Leftrightarrow x\in xSx$

[Romashka]

Здравствуйте.

Вопрос 3.

Пусть $a\in S$. Так как $S$ проста справа, существует такое $e\in S$, что $ae=a$. Не пойму как это установили, что существует $ae=a$, т.е. существует $ax=b$, где $a=b$.

[Romashka]

Это, ведь, ясно. Кажись у меня уже с головой проблема.

[Sonic86]

Товарищ Romashka!
Вы какой литературой пользуйтесь?
Мне бы по полугруппам чего-нибудь, а у меня только Ляпин

[Romashka]

Клиффорд и Престон Алгебраическая теория полугрупп том I, II