Полугруппы: начинающий

[Romashka]

Извините за беспорядок, но Начните с конца
Здравствуйте.

Задача 1

Пусть $S$ - такая полугруппа, что если $ab = cd$ $(a,b,c,d \in S)$, то или $a = c$, или $b = d$. Тогда $S$ - либо полугруппа левых нулей, либо полугруппа правых нулей. (Тьеррен).

1. Здесь "или ..., или ..." - исключающее ИЛИ ?
2. Возможно ли из условия задачи рассматривать случай, где все пары елементов отображаются в один и тот же элемент полугруппы ?

Спасибо

[Хорхе]

Romashka писал(а):

1. Здесь "или ..., или ..." - исключающее ИЛИ ?

Конечно же, нет. С "исключающим или" это условие не может выполняться, т.к. $a^2=a^2$ всегда.

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

Romashka писал(а):

2. Возможно ли из условия задачи рассматривать случай, где все пары елементов отображаются в один и тот же элемент полугруппы ?

Дыр бул щыл (вопрос непонятен).

[Romashka]

Да, Вы правы в 1. т.к. и справа и слева от знака равно одна и та же символическая запись. Я имел ввиду $aS = cS$ и $Sb = Sd$, т.е. либо полугруппа левых нулей, либо правых. Одновременно могут быть если $|S|=1$.


Во-втором, написал неполно и неправильно ("елементов"). Имел ввиду

2.1. $\{ab|a,b \in S\} \subseteq S$
2.2. $S = \{ab|a,b \in S\}$
2.3. $c = \{ab|a,b \in S\}$, где $c \in S$

где рассматривается третий случай.

Спасибо

[Romashka]

Оставим предыдущую задачу.

Задача 2.

Если $S$ - полугруппа, обладающая правым нулем, то множество $K$ всех правых нулей из $S$ есть подполугуппа (являющаяся, очевидно, полугруппой правых нулей) и, кроме того, двусторонний идеал, содержащийся в каждом двустороннем идеале полугруппы $S$.

1. $(SK)S=KS=S(KS)$, т.е. $KS$ - множество правых нулей и $KS \subseteq K$.
$K\subseteq S$, т.е. $KS=K$

2. Пусть $P\subset K$ - множество паравых нулей, тогда $PS = K$ и $SP = P$, т.е. $PS$ - не подмножество $P$. Значит, $K$ - двусторонний идеал, содержащийся в каждом двустороннем идеале полугруппы $S$.

Решение полное?

[Хорхе]

Romashka писал(а):

Решение полное?

Простите за откровенность, сплошной бред.

[Romashka]

А что бредового тут? Поясните пожалуйста.

[Romashka]

склероз

[Romashka]

1. $S$ - переменная принимающая поочередно все значения множества $S$.
2. $K$ - то же самое.
3. $SK = \{k|sk = k, \forall s \in S, \forall k \in K\} = K$ - м. правых нулей.
4. в записи $SKS$ значение $S$ слева от $K$ не обязательно равняется значению $S$ справа от $K$.
5. $(SK)S = KS = S(KS)$ - полугруппы ассоциативны.
6. $KS = S(KS)$ подподает под определение правого нуля, значит $KS$ - м. правых нулей, т.е. $KS \subseteq K$.
7. $K \subseteq S \to KK = K \subseteq KS$ и $KS \subseteq K \to KS = K$.
8. $SK \subseteq K$ и $KS \subseteq K$ - первое левый идеал, второе правый идеал, т.е. $K$ - двусторонний идеал.
9. $SKS = K$.

Думаю, последующее приведенное решение в задаче 2 понятно.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

Далее

$SaS = S, \forall a \in S$ - определение простой полугруппы.

Кто-нибудь пояснить как это расшифровывается?

[Romashka]

В первой задаче $\{ab|a,b \in S\} = S$, т.к. по определению $S \times S \to S$

Полугруппа проста справа тогда и только, когда $aS = S, \forall a \in S$
Допустим, что это не так $aS \not = S$, тогда $(aS)S = a(SS) = aS \subset S$ - собственный правый идеал.
И наоборот если $R$ - собственный правый идеал, то $a \in R, aS \subseteq R \subset S \to aS \not = S$. (из книги).

Полугруппа простая ттк $SaS = S, \forall a \in S$
Допустим, что это не так $SaS \not = S$, тогда $aS \not = S$, т.к. если $aS = S \to S(aS) = SS = S$. Далее $(aS)S = a(SS) = aS \subset S$ - собственный правый идеал. Далее понятно в том же духе.

Хочу отметить, что в выражении $(aS)S = a(SS) = aS$ первая $S$ в $(aS)S$ не обязательно равна $S$ в $aS$.

Думаю правильно?

[Профессор Снэйп]

Romashka писал(а):

Хочу отметить, что в выражении $(aS)S = a(SS) = aS$ первая $S$ в $(aS)S$ не обязательно равна $S$ в $aS$.

Это как?

[Romashka]

Потому что выражение $SS = S$ означает рассмотреть все пары $\{ab|a,b \in S\}$, а не только
$aa, a \in S$. Для фиксированных переменных, таких как $a$ везде где они встечаются их значения одинаковы, а для таких переменныя как $S$ не обязательно.

[Профессор Снэйп]

Romashka писал(а):

Потому что выражение $SS = S$ означает рассмотреть все пары $\{ab|a,b \in S\}$, а не только
$aa, a \in S$. Для фиксированных переменных, таких как $a$ везде где они встечаются их значения одинаковы, а для таких переменныя как $S$ не обязательно.

Ну и бред!

[Romashka]

Скажите профессор, как вы понимаете это выражение $aS = S$ ?

[Профессор Снэйп]

Romashka писал(а):

Скажите профессор, как вы понимаете это выражение $aS = S$ ?

Стандартно. Данное выражение есть сокращённая запись для следующего равенства множеств:

$$ \{ as : s \in S \} = S $$

Как Вы, наверное, уже догадались, общеприняты следующие обозначения:

$$ aS = \{ as : s \in S \} $$

$$ SS = \{ s_1s_2 : s_1, s_2 \in S \} $$

и т. п. Символ $S$ в подобных выражениях обозначает множество, из которого берутся элементы для образования множества произведений. И в Ваших выражениях он во всех случаях указывает на одну и ту же полугруппу!

[Romashka]

Дальше. Задача 3.

Пусть $K$ - множество правыъ нулей полугруппы $S$. Предположим, что $K \not= \emptyset$. Тогда $S\widetilde = \mathfrak{I}_K$в том и только в том случае, когда
(i) $xa = xb (a,b \in S)$ для всех $x \in K$ влечет за собой $a = b$
и
(ii) усли $\alpha$ - произвольное пробразование множества , то существует такой элемент $a \in S$, что $xa = x\alpha$ для всех $x \in K$. (Мальцев)

$\emptyset$ - пустое множество.
$\widetilde =$ - знак изоморфизма.
$\mathfrak{I}_K$ - полная полугруппа преобразований на $K$ $(K \to K)$, т.е. множество перестановок + еще там.

Что получается.

1. $K$ - двусторонний идеал, т.е. $xS \subseteq K, x \in K$
2. из условия (i) следует, что $xS = S$, т.е. в стороке $x$ нету повторяющихся элементов.
3. поэтому $xS = S \subseteq K \to S = K$, т.е. $S$ - полугруппа правых нулей.
4. может ли тогда быть $S \widetilde = \mathfrak{I}_K$ ?