Решение задач из Рудина

[esperanto_m]

Начал изучать функциональный анализ по Рудину. За пару недель неспешно разобрался с первой главой и решил порешать упражнения. Столкнулся с некоторыми проблемами при решении задач.


Полунормы $p_n(f) = \sup{\{|f(x)| : -n \leq x \leq n\}}$ индуцируют метрику

$$d(f,g) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n}p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)}$$

в пространстве $C(R)$. Пусть

$$f(x) = \max{(0, 1-|x|)},\quad g(x) = 100f(x-2),\quad 2h=f+g.$$

Показать что $d(f, 0)=\frac{1}{2}$, $d(g, 0)=\frac{50}{101}$, $d(h, 0) = \frac{1}{6} + \frac{50}{102}$.

Отсюда следует, что шары радиуса 1/2 не являются выпуклыми множествами, хотя метрика $d$ совместима с обычной локально выпуклой топологией пространства $C(R)$.

Существует ли какое-нибудь положительное $r < 1$, для которого шары радиуса $r$ выпуклы.


Собственно первая часть задачи очень проста и требует простых вычислений, однако вторая часть вызывает затруднения. Может кто-нибудь дать наводку? Где почитать что-нибудь связанное. Идей собственно никаких.

Кстати, кто-нибудь порекомендует еще хорошие задачники по функциональному анализу?
P.S. Что-нибудь попроще. Только начал изучение предмета

[Brukvalub]

esperanto_m в сообщении #205679 писал(а):

Существует ли какое-нибудь положительное $r < 1$, для которого шары радиуса $r$ выпуклы.

А Вы не пробовали видоизменить приведенный для радиуса 0.5 пример так, чтобы он стал контрпримером к выпуклости шара произвольного радиуса?

[esperanto_m]

Конечно я попробовал обобщить, определив функции
$f_t(x) = t\cdot\max{(0,1-|x|)}$ и $g_{tn}(x)=nf_t(x-2)$.