Начал изучать функциональный анализ по Рудину. За пару недель неспешно разобрался с первой главой и решил порешать упражнения. Столкнулся с некоторыми проблемами при решении задач.
Полунормы

индуцируют метрику
в пространстве

. Пусть
Показать что

,

,

.
Отсюда следует, что шары радиуса 1/2 не являются выпуклыми множествами, хотя метрика

совместима с обычной локально выпуклой топологией пространства

.
Существует ли какое-нибудь положительное

, для которого шары радиуса

выпуклы.
Собственно первая часть задачи очень проста и требует простых вычислений, однако вторая часть вызывает затруднения. Может кто-нибудь дать наводку? Где почитать что-нибудь связанное. Идей собственно никаких.
Кстати, кто-нибудь порекомендует еще хорошие задачники по функциональному анализу?
P.S. Что-нибудь попроще. Только начал изучение предмета
