2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пленка на опорах.
Сообщение24.03.2009, 17:05 


21/01/09

133
Помогите с такой физической проблемой:
Нерастяжимая пленка покоится на опорах,в общем случае их высота и расстояние
между ними могут быть разными.Толщина пленки и диаметр опор бесконечно малые.
По краям пленка спадает на землю.Какой тип уравнений описывает высоту пленки
над землей в каждой точке? Можно ли рассчитать влияние опор друг на друга
если неизвестна их высота,а известно лишь уравнение какую форму
имеет пленка покоящаяся на одной опоре?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Не тонкой тупой иголкой попробуйте вдавить на поверхность детского воздушного шара. Это будет аналогом решения для одной опоры. Ваше условие нерастяжимости для двумерного случая не позволяет записать уравнения типа цепной линии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Эх, позабыл уже теорию пластинок и оболочек... А просто равенство нулю суммы главных кривизн как в случае мыльных пленок не подойдет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2009, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Предлагаю провести реальный эксперимент с конкретной плёнкой, в качестве которой можно взять кусок ткани. Мне кажется, что её поверхность будет образовывать складки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2009, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
А может плёнка всё же растяжимая?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2009, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Если взять совсем-совсем нерастяжимую ткань, то даже при всем желании не удастся получить из нее ничего окромя части поверхности конуса или цилиндра )

Но что если искать такие поверхности $z=z(x,y)$, на которых интеграл $\[\iint {z \cdot dS}\]$ экстремален? В каком-то смысле это обобщает задачу о цепной линии на случай 2d-поверхностей. Физически это соответствует, скажем, мокрой ткани. Ткань возьмем хорошую, чтоб не сильно тянулась, а мокрая - это для придания ей весу, чтобы именно весом вся картина определялась.

Я немножко поизвращался над этой задачкой и после довольно продолжительных мучений условие экстремальности приняло издевательски простой вид:

$\[\left( {k_1  + k_2 } \right)z = \cos \theta \]$,

где $\[k_1 ,k_2 \]$ - главные кривизны; $\[\theta \]$ - угол между нормалью к поверхности и осью $z$ (угол отклонения нормали от вертикали).

Для осесимметричных поверхностей $\[z = z(r),r = \sqrt {x^2  + y^2 } \]$ это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.

Для случая закрепленных границ нам больше ничего и не нужно знать. Вот с условиями на свободной границе еще разобраться надо... я их пока к удобоваримому виду не привел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2009, 15:28 


21/01/09

133
Zai писал(а):
Не тонкой тупой иголкой попробуйте вдавить на поверхность детского воздушного шара. Это будет аналогом решения для одной опоры. Ваше условие нерастяжимости для двумерного случая не позволяет записать уравнения типа цепной линии.

Можете посоветовать где в литературе найти подобие уравнений цепной линии
в многомерном случае? Какие силы действуют на малый участок поверхности,и т.п.

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

Интересней всего обобщение как опоры влияют друг на друга,
без конкретики вроде высоты опор.Например известно что высота пленки
над землей выражается формулой h=1/r,где r - расстояние от опоры
до проэкции точки пленки на землю,кроме самых ближних
и самых дальних участков.Совместив две опоры пленка будет висеть
так же как на одной.Но как будет выглядеть формула если их развести
на заметное расстояние?
Я понимаю что реальную плоскую пленку нельзя без растяжения
натянуть на кривую поверхность.Простите если неточно высказался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2009, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
computer писал(а):
где в литературе найти подобие уравнений цепной линии
в многомерном случае? Какие силы действуют на малый участок поверхности,и т.п.

А какие силы действуют в цепи? Ее форма определяется какими-то внутрениими напряжениями или может все-таки цепь тупо принимает такую форму, когда ее потенциальная энергия в поле тяжести минимальна? )

Кстати, интересно, насколько Ваша эмпирика ($\[z \sim r^{ - 1} \]$ в "средней зоне") совместима с уравнением $$\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 22:16 


10/03/07
479
Москва
Утундрий в сообщении #198696 писал(а):
это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.
У Вас, наверное, опечатка. Я исходил из функционала энергии, записанного в виде
$$
U=\int dx\,dy\,z\sqrt{1+(\nabla z)^2}.
$$
Варьированием получается уравнение
$$
z\Delta z=1+(\nabla z)^2.
$$
Для $z$, зависящего только от $r$, имеем
$$
\frac{\ddot z+\dot z/r}{1+\dot z^2}=\frac1z.
$$

Если сделать подстановку $z=e^\phi$, то приходим к уравнению
$$
\Delta\phi=e^{-2\phi}.
$$

Видно, что с пределом $r\to\infty$ проблемы: решение не может быть конечным со стремящимися к нулю производными. То есть пленку надо крепить не только на опорах, но и на некую стенку по периметру конечной области.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2009, 02:13 


21/01/09

133
Утундрий писал(а):
Кстати, интересно, насколько Ваша эмпирика ($\[z \sim r^{ - 1} \]$ в "средней зоне") совместима с уравнением $$\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$$?

Первоначально была другая задача.Гипотетическое взаимодействие похожее на отталкивание
одноименных электрических зарядов,но которое не суммируется.То есть совместив близко
два заряда,они будут отталкивать как один.Я подумал что по сути это ближе всего
к упругим поверхностям.И если придется изменить формулу 1/r на другую,есть ли общий
алгоритм позволяющий не перестраивать заново все рассуждения.Как в самом общем виде
взаимодействуют опоры,центры аттракции и т.п.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2009, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
peregoudov писал(а):
Утундрий в сообщении #198696 писал(а):
это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.
У Вас, наверное, опечатка.

Все там правильно, а вот у вас явно где-то ошибка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group