Пленка на опорах.

[computer]

Помогите с такой физической проблемой:
Нерастяжимая пленка покоится на опорах,в общем случае их высота и расстояние
между ними могут быть разными.Толщина пленки и диаметр опор бесконечно малые.
По краям пленка спадает на землю.Какой тип уравнений описывает высоту пленки
над землей в каждой точке? Можно ли рассчитать влияние опор друг на друга
если неизвестна их высота,а известно лишь уравнение какую форму
имеет пленка покоящаяся на одной опоре?

[Zai]

Не тонкой тупой иголкой попробуйте вдавить на поверхность детского воздушного шара. Это будет аналогом решения для одной опоры. Ваше условие нерастяжимости для двумерного случая не позволяет записать уравнения типа цепной линии.

[Утундрий]

Эх, позабыл уже теорию пластинок и оболочек... А просто равенство нулю суммы главных кривизн как в случае мыльных пленок не подойдет?

[мат-ламер]

Предлагаю провести реальный эксперимент с конкретной плёнкой, в качестве которой можно взять кусок ткани. Мне кажется, что её поверхность будет образовывать складки.

[мат-ламер]

А может плёнка всё же растяжимая?

[Утундрий]

Если взять совсем-совсем нерастяжимую ткань, то даже при всем желании не удастся получить из нее ничего окромя части поверхности конуса или цилиндра )

Но что если искать такие поверхности $z=z(x,y)$, на которых интеграл $\[\iint {z \cdot dS}\]$ экстремален? В каком-то смысле это обобщает задачу о цепной линии на случай 2d-поверхностей. Физически это соответствует, скажем, мокрой ткани. Ткань возьмем хорошую, чтоб не сильно тянулась, а мокрая - это для придания ей весу, чтобы именно весом вся картина определялась.

Я немножко поизвращался над этой задачкой и после довольно продолжительных мучений условие экстремальности приняло издевательски простой вид:

$\[\left( {k_1 + k_2 } \right)z = \cos \theta \]$,

где $\[k_1 ,k_2 \]$ - главные кривизны; $\[\theta \]$ - угол между нормалью к поверхности и осью $z$ (угол отклонения нормали от вертикали).

Для осесимметричных поверхностей $\[z = z(r),r = \sqrt {x^2 + y^2 } \]$ это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.

Для случая закрепленных границ нам больше ничего и не нужно знать. Вот с условиями на свободной границе еще разобраться надо... я их пока к удобоваримому виду не привел.

[computer]

Zai писал(а):

Не тонкой тупой иголкой попробуйте вдавить на поверхность детского воздушного шара. Это будет аналогом решения для одной опоры. Ваше условие нерастяжимости для двумерного случая не позволяет записать уравнения типа цепной линии.

Можете посоветовать где в литературе найти подобие уравнений цепной линии
в многомерном случае? Какие силы действуют на малый участок поверхности,и т.п.

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

Интересней всего обобщение как опоры влияют друг на друга,
без конкретики вроде высоты опор.Например известно что высота пленки
над землей выражается формулой h=1/r,где r - расстояние от опоры
до проэкции точки пленки на землю,кроме самых ближних
и самых дальних участков.Совместив две опоры пленка будет висеть
так же как на одной.Но как будет выглядеть формула если их развести
на заметное расстояние?
Я понимаю что реальную плоскую пленку нельзя без растяжения
натянуть на кривую поверхность.Простите если неточно высказался.

[Утундрий]

computer писал(а):

где в литературе найти подобие уравнений цепной линии
в многомерном случае? Какие силы действуют на малый участок поверхности,и т.п.

А какие силы действуют в цепи? Ее форма определяется какими-то внутрениими напряжениями или может все-таки цепь тупо принимает такую форму, когда ее потенциальная энергия в поле тяжести минимальна? )

Кстати, интересно, насколько Ваша эмпирика ($\[z \sim r^{ - 1} \]$ в "средней зоне") совместима с уравнением

$$\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$$

?

[peregoudov]

Утундрий в сообщении #198696 писал(а):

это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.

У Вас, наверное, опечатка. Я исходил из функционала энергии, записанного в виде

$$ U=\int dx\,dy\,z\sqrt{1+(\nabla z)^2}. $$

Варьированием получается уравнение

$$ z\Delta z=1+(\nabla z)^2. $$

Для $z$, зависящего только от $r$, имеем

$$ \frac{\ddot z+\dot z/r}{1+\dot z^2}=\frac1z. $$

Если сделать подстановку $z=e^\phi$, то приходим к уравнению

$$ \Delta\phi=e^{-2\phi}. $$

Видно, что с пределом $r\to\infty$ проблемы: решение не может быть конечным со стремящимися к нулю производными. То есть пленку надо крепить не только на опорах, но и на некую стенку по периметру конечной области.

[computer]

Утундрий писал(а):

Кстати, интересно, насколько Ваша эмпирика ($\[z \sim r^{ - 1} \]$ в "средней зоне") совместима с уравнением

$$\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$$

?

Первоначально была другая задача.Гипотетическое взаимодействие похожее на отталкивание
одноименных электрических зарядов,но которое не суммируется.То есть совместив близко
два заряда,они будут отталкивать как один.Я подумал что по сути это ближе всего
к упругим поверхностям.И если придется изменить формулу 1/r на другую,есть ли общий
алгоритм позволяющий не перестраивать заново все рассуждения.Как в самом общем виде
взаимодействуют опоры,центры аттракции и т.п.

[Утундрий]

peregoudov писал(а):

Утундрий в сообщении #198696 писал(а):

это условие гласит $\[\frac{{\ddot z}}{{1 + \dot z^2 }} + \frac{{\dot z}}{r} = \frac{1}{z}\]$.

У Вас, наверное, опечатка.

Все там правильно, а вот у вас явно где-то ошибка.