Длина единичной окружности на плоскости с нормой

[Padawan]

У нас в университете проводилась традиционная студенческая научная конференция, и один из докладов на секции нашей кафедры был посвящен следующему вопросу.

Пусть на плоскости задана норма. Числом пи для данной нормы назовем отношение длины окружности к её диаметру (окружность - кривая, с уравнением ||x-a||=r) Такое отношение, очевидно, не зависит от диаметра окружности. Спрашивается, каковы границы для числа пи? В докладе было доказано , что 2<\pi\leq 4.

Задание нормы эквивалентно заданию выпуклой симметричной области. Норма - функционал Минковского для этой области.

В докладе был приведен пример нормы, для которой достигается верхняя граница пи=4 - эта норма определяется квадратом. Вместо квадрата можно взять любой параллелограмм. Вообще, если две области, переходят друг в друга при линейном преобразовании, то они приводят по-сути к одной и той же геометрии - соответствующие нормированные пространства будут изометрически изоморфны.

По-моему, нижняя граница =2 слишком грубая. Пока что самое маленькое значение , которого я достиг = 3 - для правильного шестиугольника. А сначала я подумал, что 3.14... и есть минимум. Было бы красиво ). Короче, найти нижнюю границу для числа пи. Ну и неравенство 2<\pi\leq 4 тоже доказать.

[Профессор Снэйп]

Пара вопросов по ходу.

1) Всегда ли диаметр равен удвоенному радиусу? Возможно, вопрос тривиальный. Но начал думать и голова разболелась.

2) Как считается длина окружности? Как супремум длин вписанных в окружность многоугольников (причём длины берутся в той норме, в которой считается $\pi$) или по другому?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #205415 писал(а):

Всегда ли диаметр равен удвоенному радиусу?

Да, всегда. Величина диаметра достигается на каких-нибудь двух противоложных точках сферы.

Профессор Снэйп в сообщении #205415 писал(а):

Как считается длина окружности? Как супремум длин вписанных в окружность многоугольников (причём длины берутся в той норме, в которой считается $\pi$)

Да.

[vlad239]

А разве нельзя взять ОЧЕНЬ вытянутое тело? тогда норма будет почти совпадать с модулем разности одной координаты и длина ломаной, соединяющей концы горизонтального диаметра, окажется близка к длине этого диаметра? Получим $\pi\approx 2$. Или я наврал?

Влад.

[ewert]

Нет. Например зададим норму как $|x|+\varepsilon|y|$. Единичный круг представляет собой очень сильно вытянутый по вертикали ромб. И тем не менее -- прямой счёт легко показывает, что отношение будет равно четырём независимо от эпсилона.

[AD]

ewert в сообщении #205420 писал(а):

Да, всегда. Величина диаметра достигается на каких-нибудь двух противоложных точках сферы.

А вот радиус - далеко не всегда расстояние от центра до самой удаленной точки. Скажем, норме $\max\{|x|,|y|\}$ будет диаметр $2\sqrt{2}$ при радиусе $1$.

upd: А, ну я тут всех попутал, извиняюсь, см. ниже.

Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды:

Padawan в сообщении #205399 писал(а):

Числом пи для данной нормы назовем отношение длины окружности к её диаметру

Уточните, пожалуйста, в какой норме считается длина - в евклидовой или в новой?

[Padawan]

В новой.

Про евклидову метрику надо вообще забыть - она тут не при чем, и ни чем не выделяется из всех других метрик.

На плоскости задана кривая $\sigma$, ограничивающая выпуклую симметричную относительно нуля область. Эта кривая определяет норму $||\;||_\sigma$, которая превращает плоскость в метрическое пространство. В этой метрике $\sigma$ - единичная окружность, с длиной $l_\sigma(\sigma)=2\pi_\sigma$.

Добавлено спустя 26 минут 34 секунды:

ewert писал(а):

Да, всегда. Величина диаметра достигается на каких-нибудь двух противоложных точках сферы.

Для любых противоположных точек $x,y\in \sigma$ $||x-y||_\sigma =2=diam_\sigma (\sigma)$

[covax]

Вот тут то же самое обсуждали.

бобыль писал(а):

В книжке этот пример, взятый из Энциклопедии элементарной математики (ее у меня нет), называется пространством Минковского - Банаха. Берется евлидова плоскость и на каждой прямой, проходящей через ноль, а также на всех параллельных ей прямых задается своя единица измерения, одна и та же, но зависящая от этой прямой. Чтобы в целом получилось метрическое пространство, без доказательства требуется выпуклость единичного круга и еще что-то там, не помню. Затем доказывается, что пи может быть любым от 3 до 4. Но это доказательство мне непонятно.

А.В.Жуков - Вездесущее число 'пи', страница 95. (djvu, пара мегабайт)

[Профессор Снэйп]

С диаметрами и радиусами разобрался, спасибо. Вопрос действительно тривиальный.

Насколько я понял из обсуждения, нижняя оценка $2$ очень груба, а $3$ является точной оценкой ("достижимой" на шестиугольнике). Правильно ли я понял? И если да, то как это доказывать?

[covax]

В книжке доказывается, что для любой такой фигуры существует вписанный шестиугольник длиной $6$. Отсюда минимальная длина единичной окружности - $6$, минимальное значение $\pi=3$.

[Утундрий]

Если тупо взять $\[\left\| {(x_1 ,x_2 )} \right\| = \left( {\left| {x_1 } \right|^p + \left| {x_2 } \right|^p } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} \]$, то сразу же получается диапазон $\[2 < \pi \leqslant 4\]$ (нижняя при $\[p \to \infty \]$, верхняя при $p=1$)

[lofar]

Норма $||\cdot||$ называется евклидовой если она в некотором базисе $E$ записывается как $||x||=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}$. Ясно что для всякой такой нормы $\pi_{||\cdot||}=\pi$.

Теорема (Ф. Джон) Для любой нормы $|||\cdot|||$ в $n$-мерном пространстве $E_{\mathbb R}$ найдется евклидова норма $||\cdot||$, такая, что $||x||/\sqrt{n}\leqslant|||x|||\leqslant||x||$.

Если 2 нормы связаны соотношением $||x||/\alpha\leqslant|||x|||\leqslant||x||$, то $\pi_{|||\cdot|||}\geqslant\pi_{||\cdot||}/\alpha$.

Из всех этих утверждений можно сделать вывод, что для любой нормы $|||\cdot|||$ верна оценка $\pi_{|||\cdot|||}\geqslant\pi/\sqrt{2}\approx 2,22144...$

[Утундрий]

lofar, Ваша оценка еще грубее моей, хотя признаю это - гораздо "красивее" обоснована )

Добавлено спустя 15 минут 22 секунды:

В общем, далее копайте ниже двух и выше четырех, так как в этом диапазоне нормы строятся как показано выше...

[lofar]

Утундрий писал(а):

lofar, Ваша оценка еще грубее моей, хотя признаю это - гораздо "красивее" обоснована )

Ваша оценка неверна. $\pi_{l_p}$ как функция от $p$ ведет себя так: убывает при $p\in[1;2]$ от $4$ до $\pi$, а на $[2;+\infty]$ возрастает от $\pi$ до $4$. Таким образом, числа $\pi$ для норм $l_p$ заполняют отрезок $[\pi; 4]$.

[Утундрий]

Ба, и верно. Досадно... но ладно, ладно, ладно.