Плотность вероят-ти момента остановки броун. движ. со сносом

[beholder22]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, в следующем вопросе. Надо найти плотность вероятности первого касания некоторого уровня броуновским движением, т.е. момента остановки. Я уже довольно много искал в интернете и нашел 3 формулы для 3 частных случаев (для простоты полагаем, что процесс начинается из нуля, а дисперсия равна единице):

t - момент остановки, x - уровень, $\mu$ - снос

1) для классического БД (без сноса) и положительного уровня:

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{x^2}{2t})$

2) для классического БД (без сноса) и отрицательного уровня:

$f(t) = -\frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{x^2}{2t})$

3) для БД с положительным сносом и положительным уровнем:

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x-\mu t)^2}{2t})$

Хотелось бы ещё иметь формулы для плотности всех остальных комбинаций +/- сноса и +/- уровней, т.е. ещё 3 формулы.

Добавлено спустя 36 минут 50 секунд:

[Хорхе]

beholder22 писал(а):

Хотелось бы ещё иметь формулы для плотности всех остальных комбинаций +/- сноса и +/- уровней, т.е. ещё 3 формулы.

А в чем проблема? Все то же самое, только знаки аккуратно поменять.

Цитата:

Кстати подскажите как корректно писать греческие буквы "мю", "сигма" и т.п. на TeX?

$\alpha, \beta,\dots,\mu,\pi,o,\rho,\sigma,\dots,\omega$.

[beholder22]

Хорхе писал(а):

А в чем проблема? Все то же самое, только знаки аккуратно поменять

А как? Я попробовал поменять 3 формулу вот так:

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x+\mu t)^2}{2t})$

рассчитывая получить плотность для случая с положительным уровнем и отрицательным сносом. Проинтегрировалось нормально к единице, отрицат значений не принимает - значит это плотность вероятности. НО графики

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x-\mu t)^2}{2t})$

и

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x+\mu t)^2}{2t})$


полностью совпадают, напр., при $x=1 \mu=1$ и $x=1 \mu=-1$
чего по идее не должно быть, потому что достигнуть положительного уровня при положительном сносе - это одно дело, а при отрицательном совсем другое.

Помогите, пжл, разобраться

[Хорхе]

beholder22 писал(а):

НО графики

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x-\mu t)^2}{2t})$

и

$f(t) = \frac{x}{\sqrt{2\pi t^3}} exp(-\frac{(x+\mu t)^2}{2t})$


полностью совпадают, напр., ...

Это да. Но откуда вторая формула, вернее, откуда плюс в экспоненте? Вы слишком много знаков, похоже, поменяли. При всех $x,\mu$ там всегда одно и то же выражение.

[beholder22]

Хорхе писал(а):

Но откуда вторая формула, вернее, откуда плюс в экспоненте?

Дело в том, что я не очень разбираюсь в стох. процессах. Фактически пытался получить оставшиеся формулы методом "научного тыка". Я знаю, что нужно применять теорему Гирсанова к формулам 1 и 2, а как это сделать я не знаю. То есть мне нужно вывести корректную формулу хотя бы для $x>0; \mu<0$. Тогда, если я ничего не путаю, остальные варианты получаются просто заменой $x$ на $-x$

[beholder22]

Нашел вроде как формулу для общего случая для геом броун дв (для меня вообще идеальный вариант был бы)

http://www.sitmo.com/eq/419

Судя по тому, что числитель первого члена формулы взят по абсолютной величине, предполагается возможность задания нижнего барьера. Однако попробовав численно проинтегрировать плотность от 0 до inf в этом случае у меня не получилась 1. Может я что-то не так понимаю?

[Хорхе]

Думаю, все Вы правильно понимаете.

Ведь процесс до барьера может и не дойти, верно? И даже вероятность того, что не дойдет, может быть положительной. Вот и все.

[beholder22]

Огромное спасибо! Всё точно - до меня дошло. Я просто слишком узко рассматривал вероятностное пространство в этой проблеме, поэтому "потерял" траектории не разу не коснувшиеся барьера...