2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти экстремумы функций трех переменных
Сообщение16.04.2009, 18:01 


16/02/09
42
$u=x+\frac{y^2}{4x}+\frac{z^2}{y}+\frac{2}{z}   ~~~  (x>0, y>0, z>0)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2009, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Попытки в студию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2009, 18:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Дифференцируйте. Система решается очень легко. Решение будет единственным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2009, 18:15 


16/02/09
42
ewert писал(а):
Дифференцируйте. Система решается очень легко. Решение будет единственным.

От трех - также, как от двух переменных?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2009, 18:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да. Размерность не имеет значения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 17:46 


16/02/09
42
ewert писал(а):
Да. Размерность не имеет значения.

А как быть с производной по z, при нахождении дискриминанта?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 17:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я не знаю, что такое дискриминант. Но.

С необходимым условием проблем нет -- решение единственно (учитывая, что все переменные положительны).

Насчёт достаточного: говоря формально, для его проверки следует выписать матрицу вторых производных и убедиться в её строгой положительности в точке, подозрительной на экстремум. Это некоторая морока, но и никаких принципиальных трудностей тут нет, требуется лишь некоторая занудливая аккуратность. Тем более что ответ-то неформально очевиден: на границах области (на четвертьплоскостях и при уходе на бесконечность) функция равна плюс бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
а как раз определитель матрицы из вторых производных для функции двух переменных и называется дискриминантом. Кстати, это это неким косвенным образом связано с дискриминантом некоторого квадратного уравнения.
По существу это критерий Сильвестра для матрицы.
Я правда думаю, что раз положительная определённость нужна для минимума, а отрицательная для максимума, то придётся посчитать ещё один минорчик.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 19:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Честно, не знаю, называется ли тот определитель дискриминантом или нет. И знать не хочу. Но что это вовсе пока ещё не критерий Сильвестра -- то точно. Ибо

gris в сообщении #205956 писал(а):
придётся посчитать ещё один минорчик.

Или даже два (в зависимости от варианта формулировки того критерия).

------------------------------------------------------
А-а, пардон, Вы имели в виду функцию двух переменных. Тогда да, только один. Который фактически считать и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 19:37 


16/02/09
42
ewert писал(а):
Я не знаю, что такое дискриминант. Но.

С необходимым условием проблем нет -- решение единственно (учитывая, что все переменные положительны).

Насчёт достаточного: говоря формально, для его проверки следует выписать матрицу вторых производных и убедиться в её строгой положительности в точке, подозрительной на экстремум. Это некоторая морока, но и никаких принципиальных трудностей тут нет, требуется лишь некоторая занудливая аккуратность. Тем более что ответ-то неформально очевиден: на границах области (на четвертьплоскостях и при уходе на бесконечность) функция равна плюс бесконечности.

Матрица - строка или столбец? Как проверить положительность матрицы в точке? Как быть со смешанными производными?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 19:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Матрица -- матрица, три на три. Смешанные производные -- вставлять в соответствующие позиции этой матрицы, естественным образом. Проверять положительность -- например, по критерию Сильвестра, как и говорил gris. (Можно ещё, конечно, проверить положительность всех её собственных чисел, но это вычислительно крайне невыгодно, и это ещё мягко сказано.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 19:58 


16/02/09
42
ewert писал(а):
Матрица -- матрица, три на три. Смешанные производные -- вставлять в соответствующие позиции этой матрицы, естественным образом. Проверять положительность -- например, по критерию Сильвестра, как и говорил gris. (Можно ещё, конечно, проверить положительность всех её собственных чисел, но это вычислительно крайне невыгодно, и это ещё мягко сказано.)

К примеру, вторые производные:
$u''_x=1$~
$u''_y=2$~
$u''_z=3$
Смешанные производные:
$u_{xy}=4$~
$u_{xz}=5$~
$u_{yz}=6.$
Как будет выглядеть матрица?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, во-первых, правила приличия требуют записи не $u_x$, а $u_{xx}$ или даже $u''_{xx}$.

А во-вторых. Просто пометьте строчки и столбцы этой матрицы буковками $x,\ y,\ z$ и заполняйте её, исходя исключительно из соображений здравого смысла. Оно и выйдет верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:27 


16/02/09
42
Все. Задача решена. Спасибо ewert и gris.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group