Найти экстремумы функций трех переменных

[Stolen]

$u=x+\frac{y^2}{4x}+\frac{z^2}{y}+\frac{2}{z} ~~~ (x>0, y>0, z>0)$

[ShMaxG]

Попытки в студию.

[ewert]

Дифференцируйте. Система решается очень легко. Решение будет единственным.

[Stolen]

ewert писал(а):

Дифференцируйте. Система решается очень легко. Решение будет единственным.

От трех - также, как от двух переменных?

[ewert]

Да. Размерность не имеет значения.

[Stolen]

ewert писал(а):

Да. Размерность не имеет значения.

А как быть с производной по z, при нахождении дискриминанта?

[ewert]

Я не знаю, что такое дискриминант. Но.

С необходимым условием проблем нет -- решение единственно (учитывая, что все переменные положительны).

Насчёт достаточного: говоря формально, для его проверки следует выписать матрицу вторых производных и убедиться в её строгой положительности в точке, подозрительной на экстремум. Это некоторая морока, но и никаких принципиальных трудностей тут нет, требуется лишь некоторая занудливая аккуратность. Тем более что ответ-то неформально очевиден: на границах области (на четвертьплоскостях и при уходе на бесконечность) функция равна плюс бесконечности.

[gris]

а как раз определитель матрицы из вторых производных для функции двух переменных и называется дискриминантом. Кстати, это это неким косвенным образом связано с дискриминантом некоторого квадратного уравнения.
По существу это критерий Сильвестра для матрицы.
Я правда думаю, что раз положительная определённость нужна для минимума, а отрицательная для максимума, то придётся посчитать ещё один минорчик.

[ewert]

Честно, не знаю, называется ли тот определитель дискриминантом или нет. И знать не хочу. Но что это вовсе пока ещё не критерий Сильвестра -- то точно. Ибо

gris в сообщении #205956 писал(а):

придётся посчитать ещё один минорчик.

Или даже два (в зависимости от варианта формулировки того критерия).

------------------------------------------------------
А-а, пардон, Вы имели в виду функцию двух переменных. Тогда да, только один. Который фактически считать и не нужно.

[Stolen]

ewert писал(а):

Я не знаю, что такое дискриминант. Но.

С необходимым условием проблем нет -- решение единственно (учитывая, что все переменные положительны).

Насчёт достаточного: говоря формально, для его проверки следует выписать матрицу вторых производных и убедиться в её строгой положительности в точке, подозрительной на экстремум. Это некоторая морока, но и никаких принципиальных трудностей тут нет, требуется лишь некоторая занудливая аккуратность. Тем более что ответ-то неформально очевиден: на границах области (на четвертьплоскостях и при уходе на бесконечность) функция равна плюс бесконечности.

Матрица - строка или столбец? Как проверить положительность матрицы в точке? Как быть со смешанными производными?

[ewert]

Матрица -- матрица, три на три. Смешанные производные -- вставлять в соответствующие позиции этой матрицы, естественным образом. Проверять положительность -- например, по критерию Сильвестра, как и говорил gris. (Можно ещё, конечно, проверить положительность всех её собственных чисел, но это вычислительно крайне невыгодно, и это ещё мягко сказано.)

[Stolen]

ewert писал(а):

Матрица -- матрица, три на три. Смешанные производные -- вставлять в соответствующие позиции этой матрицы, естественным образом. Проверять положительность -- например, по критерию Сильвестра, как и говорил gris. (Можно ещё, конечно, проверить положительность всех её собственных чисел, но это вычислительно крайне невыгодно, и это ещё мягко сказано.)

К примеру, вторые производные:
$u''_x=1$~ $u''_y=2$~ $u''_z=3$
Смешанные производные:
$u_{xy}=4$~ $u_{xz}=5$~ $u_{yz}=6.$
Как будет выглядеть матрица?

[ewert]

Ну, во-первых, правила приличия требуют записи не $u_x$, а $u_{xx}$ или даже $u''_{xx}$.

А во-вторых. Просто пометьте строчки и столбцы этой матрицы буковками $x,\ y,\ z$ и заполняйте её, исходя исключительно из соображений здравого смысла. Оно и выйдет верно.

[Stolen]

Все. Задача решена. Спасибо ewert и gris.