Равномерная непрерывность

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Первое суть стандартное определение компактности. В метрических пространствах первое эквивалентно третьему.

Между прочим, опять недоглядели. Из первого следует третье, но не наоборот (я же не нечаянно упомянул предкомпактность). Прочитайте внимательно формулировку.

-------------------------------------------------------------
Эх, придираться -- так уж придираться! Первое не "суть", а "есть" стандартное определение и т.д. "Суть" -- это множественное число.

[id]

ewert
Ну да. Вообще, даже в общих топологических пространствах есть еще критерий о непустоте пересечения любой центрированной системы замкнутых множеств. В скобках, кстати, я указал, какое определение имел ввиду.

[alleut]

У меня общий вопрос по равномерной непрерывности. Есть ли разница, если в определении равн. непр. стоят нестрогие неравества вместо строгих? Вроде как и то же самое ($\epsilon$-то любое), а как-то неуютно.

[ewert]

Разумеется, никакой разницы нет. Правда, при отрицании утверждений строгие неравенства формально переворачиваются в нестрогие (и наоборот), но на смысле определений это никак не сказывается.

[alleut]

ewert писал(а):

Разумеется, никакой разницы нет. Правда, при отрицании утверждений строгие неравенства формально переворачиваются в нестрогие (и наоборот), но на смысле определений это никак не сказывается.

Спасибо.

[inf76]

Профессор Снэйп писал(а):

Утверждение. [i]Если функция $f: A \cup B \to \mathbb{R}$ равномерно непрерывна на $A$ и на $B$, то она равномерно непрерывна на $A \cup B$.

Но если добавить, что функция $f$ непрерывна на $A \cup B$, то профессор прав.