Одна точка разрава не влияет на интегрируемость

[boloboshenku]

Нужно доказать, что функция, непррерывная на отрезке, кроме одной точки, является интегрируемой на нем.Зная, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.
Действую по определению: составляю разбиение...если наша точка разрыва не оказалась опорной точкой, то ничего не изменится, и все хорошо...А если оказалась..как действовать?..

[ShMaxG]

А если разбить отрезок на два? Пусть их эта точка разделяет.

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

И вообще. Возьмите функцию

\[ f\left( x \right) = \frac{1} {x} \]

на отрезке

\[ \left[ { - 1;1} \right] \]

. Эта функция непрерывна везде на отрезке, кроме точки x=0. И не интегрируема на нем.

[boloboshenku]

Так ведь это не помешает ей опять оказаться опорной точкой...

[ShMaxG]

И что? На левом отрезке функция непрерывна. На правом тоже. Значит и там, и там интегрируема, т.е. интегрируема на объединении этих отрезков.

[boloboshenku]

ShMaxG писал(а):

А если разбить отрезок на два? Пусть их эта точка разделяет.

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

И вообще. Возьмите функцию

\[ f\left( x \right) = \frac{1} {x} \]

на отрезке

\[ \left[ { - 1;1} \right] \]

. Эта функция непрерывна везде на отрезке, кроме точки x=0. И не интегрируема на нем.

да....значит имелось ввиду..если взять одну точку из отрезка, и придать ей произвольное конечное значение функции..

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

ShMaxG писал(а):

И что? На левом отрезке функция непрерывна. На правом тоже. Значит и там, и там интегрируема, т.е. интегрируема на объединении этих отрезков.

Как это непрерывна?..

[ShMaxG]

Вы же сами написали

boloboshenku писал(а):

функция, непррерывная на отрезке, кроме одной точки

[boloboshenku]

Ну так если разбить на два отрезка..границой будет наша точка..то все равно на левом отрезке ф-ция будет иметь точку разрыва в правом конце отрезка...а на правом отрезке - в левом...

[ShMaxG]

Аа, прошу прощения, что-то не заметил. Все, что я писал - в случае разрыва первого рода. Если как у Вас - устранимый разрыв, то не смотря на то, что опорная точка может попасть в эту точку разрыва, мы всегда можем сделать измельчение разбиения.

[Алексей К.]

А что такое опорная точка, плиииз... (меня такой не учили ) ?

[boloboshenku]

ShMaxG писал(а):

мы всегда можем сделать измельчение разбиения.

Не совсем понимаю, зачем?!...и почему всегда можем?..

[ShMaxG]

Алексей К.

Меня тоже
Я подозреваю, эта та самая "кси", которая внутри отрезка разбиения берется.

[boloboshenku]

ShMaxG писал(а):

Алексей К.

Меня тоже
Я подозреваю, эта та самая "кси", которая внутри отрезка разбиения берется.

Именно

[PAV]

Интеграл - предел интегральных сумм при измельчении разбиения. При этом вклад каждого отдельно взятого отрезка стремится к нулю и значение функции на нем роли фактически не играет (при условии, конечно, что функция ограничена).

[boloboshenku]

PAV писал(а):

Интеграл - предел интегральных сумм при измельчении разбиения. При этом вклад каждого отдельно взятого отрезка стремится к нулю и значение функции на нем роли фактически не играет (при условии, конечно, что функция ограничена).

Вот..это меня вроде как убедило) Спасибо)

[ShMaxG]

boloboshenku
Вы осторожней, такие базовые определения лучше учить