2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти порядок подгруппы всех самосовмещений: луча; отрезка
Сообщение09.04.2009, 12:05 


03/01/09
29
Здравствуйте!
Помогите разобраться со следующей задачей:

Найти порядок подгруппы всех самосовмещений: а) луча; б) отрезка - в группе всех движений прямой (движение - преобразование, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками; самосовмещение - движение, отображающее фигуру на себя).

Решение:
Во-первых, порядок - число элементов группы. Всего различных движений три: поворот, симметрия и параллельный перенос. Следовательно, а) у луча порядок будет равен 3 (так как все 3 движения выполняются); б) у отрезка аналогично тоже 3.
Правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Неправильно.
Цитата:
самосовмещение - движение, отображающее фигуру на себя

Надо считать количество таких движений, а не количество разных математических терминов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 12:16 


03/01/09
29
Луч:
Поворот - 1, параллельный перенос - 2, симметрия - 2. В сумме порядок 5.
Отрезок:
Тоже 5.
:?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Подумайте лучше. Ответ существенно меньше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 16:20 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
_MORV_ писал(а):
Луч:
Поворот - 1, параллельный перенос - 2, симметрия - 2. В сумме порядок 5.
Отрезок:
Тоже 5.
:?:

В условия предлагается рассматривать группу движений прямой (а не плоскости).
Понятно, что эта группа состоит из параллельных переносов (включая перенос на нулевой вектор) и симметрий, относительно точки.
Откуда же взялись повороты?
Поворот на угол кратный $2\pi$ есть тождественное преобразование (или перенос на нулевой вектор). Никакие другие повороты не будут преобразованиями прямой. Или Вы ее вокруг своей оси вращаете? :)

Что же до других перобразований, укажите какие именно переносы (на какой вектор) и симметрии (относительно какой точки) переводят в себя, например, данный луч?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 17:42 


03/01/09
29
У луча поворот $2 \pi k$. У отрезка $ \pi k$.

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

Получается порядком подгруппы является бесконечность..Есть бесконечное число вариантов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2009, 17:49 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
_MORV_ писал(а):
У луча поворот $2 \pi k$. У отрезка $ \pi k$.

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

Получается порядком подгруппы является бесконечность..Есть бесконечное число вариантов.

Еще раз повторяю:
Цитата:
Поворот на угол кратный $2\pi$ есть тождественное преобразование.

Т.е все Ваши "повороты", на самом деле, есть один и тот же нейтральный элемент группы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 16:30 


03/01/09
29
Тогда получается, у луча порядок 1(движения тождественные). У отрезка порядок 2(поворот, симметрия относительно центра отрезка).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 17:54 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
_MORV_ писал(а):
Тогда получается, у луча порядок 1(движения тождественные). У отрезка порядок 2(поворот, симметрия относительно центра отрезка).

Получается.
Только не у луча (отрезка), а у группы самосовмещений луча (отрезка).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2009, 18:10 


03/01/09
29
Спасибо за помощь.

Добавлено спустя 2 часа 28 минут 25 секунд:

Еще одна задача, которая вызвала затруднения:

В симметрической группе $S_{5}$ выяснить, будет ли множество $$ \{ (1 \ 2), (1 \ 2 \ 3), (1 \ 2 \ 3 \ 4) \} $$ смежным классом по какой-либо подгруппе.

Решение:
Вот симметрическая группа: $$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array} \right)  =  s_{1}$$, $$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 & 4 & 5 \\
\end{array} \right) = s_{2}$$, $$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\
\end{array} \right) = s_{3}$$.

Возьмем следующую подгруппу: $$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array} \right) = M$$.
Тогда $$Ms_{1} = s_{1}, Ms_{2} = s_{2}, Ms_{3} = s_{3}$$. Следовательно, является смежным классом. :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2009, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Это "решение" показывает, что Вы не понимаете определения смежного класса. Подучите: http://www.algebraic.rudoku.php?id=glossary:group:factor

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2009, 00:17 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Brukvalub писал(а):
Это "решение" показывает, что Вы не понимаете определения смежного класса.

Если бы только смежного класса...
В качестве "группы" тоже весьма странное множество рассматривается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2009, 13:38 


03/01/09
29
Я просто обозначил так(думал понятно это будет всем...),а группа естественно так выглядит:

$$ \left\{ \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array} \right), \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 & 4 & 5 \\
\end{array} \right), \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\
\end{array} \right) \right\}$$.

Что же касается смежного класса, то им я называю множество $aH$, точнее это левый смежный класс; правый смежный класс аналогично, только $a$ справа.

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

Кажется, я понял в чем ошибка... Мне нужно брать подгруппу, состоящую из 3 элементов, а не из 1 :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2009, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
_MORV_ в сообщении #204271 писал(а):
Кажется, я понял в чем ошибка... Мне нужно брать подгруппу, состоящую из 3 элементов, а не из 1
Не для каждого делителя m порядка группы n в группе существует подгруппа, состоящая из m элементов.
Мне кажется, что словом "подгруппа" Вы обозначаете произвольное подмножество элементов исходной группы. Так делать нельзя!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2009, 05:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Подучили понятие смежного класса? Ну тогда первое задание:

Предполагая, что такая подгруппа $H$ существует, найдите для начала два элемента в неё входящие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group