Найти порядок подгруппы всех самосовмещений: луча; отрезка

[_MORV_]

Здравствуйте!
Помогите разобраться со следующей задачей:

Найти порядок подгруппы всех самосовмещений: а) луча; б) отрезка - в группе всех движений прямой (движение - преобразование, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками; самосовмещение - движение, отображающее фигуру на себя).

Решение:
Во-первых, порядок - число элементов группы. Всего различных движений три: поворот, симметрия и параллельный перенос. Следовательно, а) у луча порядок будет равен 3 (так как все 3 движения выполняются); б) у отрезка аналогично тоже 3.
Правильно ли это?

[Хорхе]

Неправильно.

Цитата:

самосовмещение - движение, отображающее фигуру на себя

Надо считать количество таких движений, а не количество разных математических терминов.

[_MORV_]

Луч:
Поворот - 1, параллельный перенос - 2, симметрия - 2. В сумме порядок 5.
Отрезок:
Тоже 5.

[Хорхе]

Подумайте лучше. Ответ существенно меньше.

[VAL]

_MORV_ писал(а):

Луч:
Поворот - 1, параллельный перенос - 2, симметрия - 2. В сумме порядок 5.
Отрезок:
Тоже 5.

В условия предлагается рассматривать группу движений прямой (а не плоскости).
Понятно, что эта группа состоит из параллельных переносов (включая перенос на нулевой вектор) и симметрий, относительно точки.
Откуда же взялись повороты?
Поворот на угол кратный $2\pi$ есть тождественное преобразование (или перенос на нулевой вектор). Никакие другие повороты не будут преобразованиями прямой. Или Вы ее вокруг своей оси вращаете?

Что же до других перобразований, укажите какие именно переносы (на какой вектор) и симметрии (относительно какой точки) переводят в себя, например, данный луч?

[_MORV_]

У луча поворот $2 \pi k$. У отрезка $ \pi k$.

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

Получается порядком подгруппы является бесконечность..Есть бесконечное число вариантов.

[VAL]

_MORV_ писал(а):

У луча поворот $2 \pi k$. У отрезка $ \pi k$.

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

Получается порядком подгруппы является бесконечность..Есть бесконечное число вариантов.

Еще раз повторяю:

Цитата:

Поворот на угол кратный $2\pi$ есть тождественное преобразование.

Т.е все Ваши "повороты", на самом деле, есть один и тот же нейтральный элемент группы.

[_MORV_]

Тогда получается, у луча порядок 1(движения тождественные). У отрезка порядок 2(поворот, симметрия относительно центра отрезка).

[VAL]

_MORV_ писал(а):

Тогда получается, у луча порядок 1(движения тождественные). У отрезка порядок 2(поворот, симметрия относительно центра отрезка).

Получается.
Только не у луча (отрезка), а у группы самосовмещений луча (отрезка).

[_MORV_]

Спасибо за помощь.

Добавлено спустя 2 часа 28 минут 25 секунд:

Еще одна задача, которая вызвала затруднения:

В симметрической группе $S_{5}$ выяснить, будет ли множество

$$ \{ (1 \ 2), (1 \ 2 \ 3), (1 \ 2 \ 3 \ 4) \} $$

смежным классом по какой-либо подгруппе.

Решение:
Вот симметрическая группа:

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) = s_{1}$$

,

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) = s_{2}$$

,

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) = s_{3}$$

.

Возьмем следующую подгруппу:

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) = M$$

.
Тогда

$$Ms_{1} = s_{1}, Ms_{2} = s_{2}, Ms_{3} = s_{3}$$

. Следовательно, является смежным классом.

[Brukvalub]

Это "решение" показывает, что Вы не понимаете определения смежного класса. Подучите: http://www.algebraic.rudoku.php?id=glossary:group:factor

[VAL]

Brukvalub писал(а):

Это "решение" показывает, что Вы не понимаете определения смежного класса.

Если бы только смежного класса...
В качестве "группы" тоже весьма странное множество рассматривается.

[_MORV_]

Я просто обозначил так(думал понятно это будет всем...),а группа естественно так выглядит:

$$ \left\{ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \right\}$$

.

Что же касается смежного класса, то им я называю множество $aH$, точнее это левый смежный класс; правый смежный класс аналогично, только $a$ справа.

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

Кажется, я понял в чем ошибка... Мне нужно брать подгруппу, состоящую из 3 элементов, а не из 1

[Brukvalub]

_MORV_ в сообщении #204271 писал(а):

Кажется, я понял в чем ошибка... Мне нужно брать подгруппу, состоящую из 3 элементов, а не из 1

Не для каждого делителя m порядка группы n в группе существует подгруппа, состоящая из m элементов.
Мне кажется, что словом "подгруппа" Вы обозначаете произвольное подмножество элементов исходной группы. Так делать нельзя!

[bot]

Подучили понятие смежного класса? Ну тогда первое задание:

Предполагая, что такая подгруппа $H$ существует, найдите для начала два элемента в неё входящие.