Формула касательной к графику представленного массивом

[Aneto]

Помогите разобраться, как вывести формулу касательной в любой точке к графику функции представленной 2-мерным массивом данных (х и у). Данные, к сожалению как и все экспериментальные, имею небольшой местный разброс.

Есть идея строить местные хорды: ограничить небольшую местную выборку и вывести формулу прямой, по которой эти данные хорошо коррелировали бы.

К сожалению не настолько хорошо подкован в математике, чтобы самому смоделировать данный процесс...

[Dialectic]

Aneto писал(а):

Помогите разобраться, как вывести формулу касательной в любой точке к графику функции представленной 2-мерным массивом данных (х и у). Данные, к сожалению как и все экспериментальные, имею небольшой местный разброс.

Есть идея строить местные хорды: ограничить небольшую местную выборку и вывести формулу прямой, по которой эти данные хорошо коррелировали бы.

К сожалению не настолько хорошо подкован в математике, чтобы самому смоделировать данный процесс...

Этих данных недостаточно, чтобы построить касательные к графику в каждой точке.
Если функция задана дискретно, то значения её в промежутках могут быть какими угодно.
Соответственно касательных может быть сколько угодно. Вот если бы у Вас стояла задача построить касательную к одной из возможных функций интерполяции, то тогда можно было бы ответить более конкретно.

[worm2]

Самое простое, что могу предложить --- это построить прямую методом наименьших квадратов по точкам, отстоящих от нужной "не очень далеко" (похоже, что это Ваша идея и есть). Понятие "не очень далеко" зависит от конкретной ситуации и может подбираться экспериментально.
Формулы для метода наименьших квадратов можно найти, например, здесь.

[ewert]

Почему именно прямую? При не слишком высоких степенях -- можно использовать полиномиальную модель, а потом тупо её продифференцировать.

[worm2]

Это уже будет не самое простое Для человека, "не настолько хорошо подкованного в математике" систему уравнений будет посложнее решать...

[Aneto]

но зачем тогда мучиться и с МНК если можно построить просто хорды? ведь соотношения углов "соседствующих" хорд будет таким же как и у касательных, с допустимой степенью точности, разве нет?

[worm2]

Aneto писал(а):

но зачем тогда мучиться и с МНК если можно построить просто хорды? ведь соотношения углов "соседствующих" хорд будет таким же как и у касательных, с допустимой степенью точности, разве нет?

Проблема в том, что

Aneto писал(а):

Данные, к сожалению как и все экспериментальные, имею небольшой местный разброс.

Даже небольшая погрешность в исходных данных может приводить (и на практике часто приводит) к большой погрешности в вычислении производных. МНК (или какой-нибудь другой метод) нужен как раз для "сглаживания" этих погрешностей.

[Aneto]

хм, спасибо
Но метод касательных в седиментационном анализе, как раз и нужен для того, чтоб не как можно меньше интерполировать исходные данные. Просто делается он издавна графически (на глаз)и уже тогда зарекомендовал себя.
Я думаю, учитывая этот факт, можно быть уверенным, что к большим погрешностям это не приведет.
И кстати наоборот, наткнулся тут на программку, которая сначала интерполирует все данные, а затем строит касательные, так результат выходит более чем странный, хотя делает она все правильно и несколькими методами... и каждый метод дает свои результаты, как так(((

[worm2]

Зачем интерполировать данные с погрешностями? Конечно, при таком подходе будут более чем странные результаты
Чтобы сгладить погрешности, нужно аппроксимировать.

[Aneto]

хм, а в чем глубокое различие в этих методах?

[worm2]

Задача интерполяции заключается в том, чтобы найти функцию, проходящую в точности через заданные точки. При этом из-за особенностей задачи численного дифференцирования (чем меньше шаг между соседними точками, тем более результат чувствителен к погрешностям) результат оказывается далёк от ожидаемого.
Задача аппроксимации требует лишь "не очень большого" отклонения искомой функции от заданных точек, что позволяет добиться гораздо более устойчивого поведения решения.

[Aneto]

А можно пару примеров алгоритмов аппроксимации? Ссылки например? буду очень благодарен.

[Алексей К.]

Метод Наименьших Квадратов.

[Aneto]

Спасибо
Кстати, а еще какие бывают?

[worm2]

Ну, например, Reduced Major Axis (RMA) Regression. К моему удивлению, в Google не нашёл подробного описания этого метода, хотя его идея очень проста: в нём минимизируется сумма квадратов расстояний от точек до аппроксимирующей кривой (в отличие от МНК, в котором минимизируется сумма квадратов разностей ординат точек и аппроксимирующей функции в попарно различных абсциссах точек). Метод более предпочтителен в случаях, когда погрешность могут иметь не только результаты измерений функции в какой-либо точке, но и сама координата этой точки (например, истинная температура в момент времени 10.01 сек была 12.99 градусов, а измерили 13.00 градусов, и приписали её моменту времени 10.00 сек). Однако есть в нём свои сложности. Метод RMA может выдать кривую, принимающую более одного значения в точке, т.е. не являющуюся графиком функции. Например, в линейном случае RMA вполне может выдать вертикальную линию, даже в случае, когда абсциссы всех точек попарно различны.

Добавлено спустя 17 минут 20 секунд:

Оказывается, метод RMA здесь уже обсуждался:
http://dxdy.ru/topic15175.html
Вот склероз!
Aneto, посмотрите, там много ссылок на похожие задачи.