cистема уравнений

[lenok.marshal]

Ребята, помогите решить систему уравнений из одной книжки

$$\frac{dx_i(t)}{dt}=(1-x_i(t))\int\limits_0^t dt' \left(\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right)$$

.

Начальное условие

$$x_i(t=0)=x_0$$

,

$$A_{ij}$$

- матрица действительных чисел,

$$c_i$$

- действительные константы,

$$i,j=1,2,...,n$$

. Как записать решение в виде формулы для какого-то

$$x_i(t)$$

? Заглядывала в учебник по интегральным уравнениям, но там все не то, это дифференциально-интегральное уравнение. Нужны какие-то преобразования, чтобы упростить. Не знаю как даже для системы двух уравнений.

[Brukvalub]

Я бы попробовал разделить обе части уравнения на множитель перед интегралом, после чего продифференцировать обе части по t - получится диф. уравнение, правда не знаю - будет ли новая система решаемой, а проверять - лень.
Попрпобуйте, вдруг получится.

[lenok.marshal]

Brukvalub писал(а):

Я бы попробовал разделить обе части уравнения на множитель перед интегралом, после чего продифференцировать обе части по t - получится диф. уравнение, правда не знаю - будет ли новая система решаемой, а проверять - лень.
Попрпобуйте, вдруг получится.

У меня не получилось дифференциального уравнения :

$$\frac{dx_i(t)}{dt}=(1-x_i(t))\int\limits_0^t dt' \left(\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right)$$

Делим обе части на

$$(1-x_i(t))$$

:

$$\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{dx_i(t)}{dt}=\int\limits_0^t dt' \left(\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right)$$

Дифференцируем слева и справа:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{dx_i(t)}{dt}\right)= \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^t dt' \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right)$$

Распишем производные:

$$-\frac{1}{(1-x_i(t))^2}\left(\frac{dx_i(t)}{dt}\right)^2+\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{d^2 x_i(t)}{dt^2}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \left(x_j(t) -\frac{1}{c_j}\int\limits_0^t dt' \ \exp \left(-\frac{t-t'}{c_j}\right) \ x_j(t') \right)$$

Все еще сложнее и опять тот же самый интеграл. Я наделала ошибок или не поняла указание, да?

[Brukvalub]

lenok.marshal в сообщении #204375 писал(а):

Я наделала ошибок...

Меня учили, что производная интеграла с переменным верхним пределом, взятая по этому пределу в точке непрерывности подынтегральной функции равна значению подынтегральной функци в точке дифференцирования.
Неужели правила дифференцирования за прошедшее время так сильно изминились?
Значит, мне пора на покой, этот мир мне уже не понять....

[ewert]

Интеграла, конечно, не будет; но и система всё равно получается нелинейной и довольно грустной.

[Someone]

Там $t$ ещё и в подынтегральном выражении содержится.

Можно, конечно, выразить интегралы из первоначальной системы и подставить их в то, что получилось после дифференцирования (при условии, что матрица невырожденная).

[lenok.marshal]

Brukvalub писал(а):

lenok.marshal в сообщении #204375 писал(а):

Я наделала ошибок...

Меня учили, что производная интеграла с переменным верхним пределом, взятая по этому пределу в точке непрерывности подынтегральной функции равна значению подынтегральной функци в точке дифференцирования.
Неужели правила дифференцирования за прошедшее время так сильно изминились?
Значит, мне пора на покой, этот мир мне уже не понять....

Но-но сама подинтегральная функция ведь тоже зависит от

$$t$$

, потому я применила правило Лейбница...

[ewert]

[Brukvalub]

lenok.marshal в сообщении #204383 писал(а):

Но-но сама подинтегральная функция ведь тоже зависит от

$$t$$

, потому я применила правило Лейбница...

А...
Обознатушки, перепрятушки. Этой детали я и не разглядел
Зато Someone дело глаголит.

[lenok.marshal]

$$ \frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^t dt' \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right) = \ \left(x_j(t) -\frac{1}{c_j}\int\limits_0^t dt' \ \exp \left(-\frac{t-t'}{c_j}\right) \ x_j(t') \right)$$

Поясните почему это неверно. Я применяла эту формулу http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 1%86%D0%B0 .

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

слава богу. бред мне писать свойственно, но тут была некоторая уверенность

[Brukvalub]

lenok.marshal в сообщении #204388 писал(а):

Поясните почему это неверно.

Это верно, просто я со-слепу обмишурился.
Повторюсь: несмотря на возникшее недоразумение, Someone выше внес предложение, которое может спасти ситуацию!

[lenok.marshal]

Someone писал(а):

Там $t$ ещё и в подынтегральном выражении содержится.

Можно, конечно, выразить интегралы из первоначальной системы и подставить их в то, что получилось после дифференцирования (при условии, что матрица невырожденная).

Я не поняла при чем тут невырожденность матрицы

$$A_{ij}$$

. Невырожденная - это та, у которой есть обратная к ней

$$A^{-1}$$

, так что

$$AA^{-1}=I$$

, что возможно, если ее определитель отличен от нуля. По ходу рассуждений в книге такое предположение разумно.

Eсли выразить интеграл от суммы, то получится 1) тоже самое топтание на месте, причем когда есть вторая производная, то совершенно не понимаю, как такое решать вообще, ведь 2) начальное условие одно:

Подставим

$$\int\limits_0^t dt' \left(\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \exp \left({-\frac{t-t'}{c_j}}\right) \ x_j(t')\right)=\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{dx_i(t)}{dt}$$

в

$$-\frac{1}{(1-x_i(t))^2}\left(\frac{dx_i(t)}{dt}\right)^2+\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{d^2 x_i(t)}{dt^2}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ \left(x_j(t) -\frac{1}{c_j}\int\limits_0^t dt' \ \exp \left(-\frac{t-t'}{c_j}\right) \ x_j(t') \right)$$

и получим

$$-\frac{1}{(1-x_i(t))^2}\left(\frac{dx_i(t)}{dt}\right)^2+\frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{d^2 x_i(t)}{dt^2}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{c_j-1}{c_j} \ A_{ij} \ x_j (t) - \frac{1}{c_j} \frac{1}{(1-x_i(t))}\frac{dx_i(t)}{dt}$$

.

Имеется ввиду, что надо надо исходную систему на что-то домножить и использовать невырожденность?

[Brukvalub]

Интеграл Вы исключили, получилась система диф. ур. Ее обычно решать легче, например, есть стандартные численные методы.

lenok.marshal в сообщении #204405 писал(а):

ведь 2) начальное условие одно

А вот что делать с этим - пока не знаю.

[lenok.marshal]

Дорогие ребята.

Я не поняла в каком месте использовала невырожденность матрицы, бог с ней. Не имеется ввиду численное решение такой системы уравнений, надо как-то в более замкнутом и формульном виде и может быть мы пошли не по тому пути, оттуда и неясность с этой второй производной?

Тут уравнение не чисто интегральное, но тем не менее "ядро" в этом интеграле стандартная экспоненциальная функция, которая должна часто встречаться в разных прикладных задачах науки и техники, как и похожие уравнения . Разные там экспоненциальные затухания с течение времени ведь бывают. В лоб нельзя, надо какой-то трюк-метод, какие-то преобразования Лапласа, сверки, черт знает что, если бы я знала. Может быть и не очень заумно, просто не ясно что. Надеюсь, кто-то разглядит. В книге говорится, что аналитические вычисления можно провести, но они не приводятся .

[Someone]

lenok.marshal писал(а):

Someone писал(а):

Можно, конечно, выразить интегралы из первоначальной системы и подставить их в то, что получилось после дифференцирования (при условии, что матрица невырожденная).

Я не поняла при чем тут невырожденность матрицы

$$A_{ij}$$

. Невырожденная - это та, у которой есть обратная к ней

$$A^{-1}$$

, так что

$$AA^{-1}=I$$

, что возможно, если ее определитель отличен от нуля. По ходу рассуждений в книге такое предположение разумно.

К сожалению, так просто, как Вам показалось, исключить интегралы нельзя, поскольку там, куда Вы подставляете, перед каждым интегралом стоит лишний множитель $\frac 1{c_j}$. Если в исходном уравнении за неизвестные принять

$$I_j=\frac{c_j-1}{c_j}\int_0^t\exp\left(-\frac{t-t'}{c_j}\right)x_j(t')dt'\text{,}$$

то получится система линейных алгебраических уравнений

$$\sum_{j=1}^nA_{ij}I_j=\frac 1{1-x_i(t)}\frac{dx_i(t)}{dt}\text{;}$$

выражая отсюда $I_j$ (при условии невырожденности матрицы системы) и подставляя в результат дифференцирования, получим систему, не содержащую интегралов.

lenok.marshal писал(а):

причем когда есть вторая производная, то совершенно не понимаю, как такое решать вообще, ведь 2) начальное условие одно

Ну, одно начальное условие у Вас есть:

$$\left.x_i\right|_{t=0}=x_{i0}\text{.}$$

Второе получается из исходного уравнения, если подставить в него $t=0$:

$$\left.\frac{dx_i}{dt}\right|_{t=0}=0\text{.}$$