Положение точки z на комплексной плоскости

[Алексей К.]

Купить тетрадку в клеточку. Подрисовать только оси координат и масштаб (сторона клеточки = 1). А уголки клеточек будут этими самыми числами.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Купить тетрадку в клеточку.

Ну да, о клетках я и подумал - клетки, клетки, клетки....

Аналогично нарисовать множество чисел Эйзенштейна ( вида $a+b \rho$, где $\rho= \frac {3^{1/2} i-1} {2}$,
a, b -целые)?

[Алексей К.]

PAV в этом сообщении писал(а):

Однако ... Вы должны продемонстрировать готовность к самостоятельной работе. Как это сделать - ваше дело. Правильнее всего будет подробно написать о своих попытках решения, а вопросы задавать о конкретных возникших затруднениях.

А то потом замучимся --- числа Гайдая, числа Бондарчука, числа Феллини...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А то потом замучимся --- числа Гайдая, числа Бондарчука, числа Феллини...

Числа Эйзенштейна вполне достойные.
Вот если вернуться к геометрическому представлению комплексных чисел, то длина вектора ( модуль) для чисел Эйзенштейна получается целым числом:
$|a+b\rho|^2=a^2-ab+b^2$

Это наводит на мысль, что они как-то регулярно должны укладываться на бумажке в клеточку.
Вот только как именно, я еще не догадался, вернее не понял.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #203856 писал(а):

Числа Эйзенштейна вполне достойные.

А что, "Бриллиантовая рука" чем-то не катит?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А что, "Бриллиантовая рука" чем-то не катит?

А что есть? на комплексной плоскости в клеточку? - и как располагается?

[RIP]

e7e5 в сообщении #203840 писал(а):

Аналогично нарисовать множество чисел Эйзенштейна ( вида $a+b \rho$, где $\rho= \frac {3^{1/2} i-1} {2}$,
a, b -целые)?

А для них Вам придётся купить тетрадь в косую клеточку. И точное значение $\rho$ здесь вообще не при делах, важно лишь то, что $\rho\notin\mathbb R$.

[e7e5]

RIP писал(а):

А для них Вам придётся купить тетрадь в косую клеточку.

Сколько по магазинам ходил, но ни разу в косую не встречал... - идея заслуживаетт патентования и такие тетрадки первоклашкам в подарок.

А если серьезно, то не пойму почему такое построение дает размещение чисел Эйзенштейна:
Горизонтальная ось - на ней целые числа ($a$)
К этой горизонтальной оси строим под углом $2\pi/3$ - ось $\rho$
и под укглом $\pi /3$ ось $\rho^2$

Дальше нужно разлиновать листок бумаги, так что получится косая клеточка.- такая решетка, плоскость замощена равносторонними треугольниками?
Как осуществляется переход к базису $[1; \rho]$?

[Алексей К.]

Вы мудрите, и я не всё понимаю. Какие оси ро и ро-квадрат, кто такой базис???
Взяли обычные мнимую и действительную ось, изобразили число $\rho$ $(0+1\cdot\rho$, $a=0, b=1)$ в виде конца единичного отрезка под углом $120^\circ$ к действительной оси (оси абсцисс). Легко дорисовали $2\rho$, $3\rho$, $4\rho$, $5\rho$, $-1\rho$, $-2\rho$, $\ldots$. Потом $1+\rho$, $2+\rho$, $3+\rho$, $\ldots$. Потом $1+2\rho$, $2+2\rho$, $3+2\rho$, $\ldots$. Не забыли про $0+0\rho$, $1+0\rho$, $2+0\rho$, $\ldots$.
Соединяете точки с $a=\mathrm{const}$, потом точки с $b=\mathrm{const}$. Никаких треугольников, если лишних прямых не проводить...

[RIP]

e7e5 в сообщении #203997 писал(а):

А если серьезно, то не пойму почему такое построение дает размещение чисел Эйзенштейна:
Горизонтальная ось - на ней целые числа ($a$)
К этой горизонтальной оси строим под углом $2\pi/3$ - ось $\rho$
и под укглом $\pi /3$ ось $\rho^2$

А зачем Вам вообще это $\rho^2$ сдалось?

Ситуация ведь ничем не отличается от гауссовых чисел. Натягиваете параллелограмм (в нашем случае --- ромб; эдакая косая клеточка) на вектора 1 и $\rho$ (вершины --- 0, 1, $\rho$, $\rho+1$), а затем просто размножаете этот параллелограмм по аналогии с обычной тетрадкой в клетку.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #203856 писал(а):

длина вектора ( модуль) для чисел Эйзенштейна получается целым числом:

Нет.

[e7e5]

RIP писал(а):

[Натягиваете параллелограмм (в нашем случае --- ромб; эдакая косая клеточка) на вектора 1 и $\rho$ (вершины --- 0, 1, $\rho$, $\rho+1$), а затем просто размножаете этот параллелограмм по аналогии с обычной тетрадкой в клетку.

Да, на бумажке удалось построить решетку из этих чисел.

Посмотрел на решетку и возникло 2 вопросика:

из начала координат проведем окружность радиуса $R=a\rho$
1) Сколько чисел Эйзенштена будет внутри этой коружности, включая попавшие на границу окружности?
2) Где будут центр масс, если каждому узлу получившей решетки поставить в соответствие единичную массу?

[RIP]

e7e5 в сообщении #204052 писал(а):

из начала координат проведем окружность радиуса $R=a\rho$
1) Сколько чисел Эйзенштена будет внутри этой коружности, включая попавшие на границу окружности?
2) Где будут центр масс, если каждому узлу получившей решетки поставить в соответствие единичную массу?

0) А какой смысл записывать $R$ в виде $a\rho$?

1) Вас интересует точная формула? Тогда

$$\sum_{m^2-mn+n^2\le R^2}1=\sum_{n=-\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}^{\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}\left(\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}+n}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}-n}2\right\rfloor+1\right),$$

где $\lfloor x\rfloor$ --- целая часть $x$. Но толку от этой формулы чуть. Если интересует приближённая формула (при больших $R$), то тривиальная оценка

$$\frac{\text{площадь круга}}{\text{площадь клеточки}}+O(R)=\frac{2\pi R^2}{\sqrt3}+O(R).$$

Немного напрягшись, можно $O(R)$ заменить на $O((R\log R)^{2/3})$. Сильно напрягшись, вроде бы можно получить $O(R^{2/3-\delta})$ с некоторым $\delta>0$ (по крайней мере логарифм точно можно убрать), но это уже суровая аналитическая теория чисел, которой я не знаю.

2) Как где? В нуле. Где же ему ещё быть? Ведь картинка симметрична относительно нуля.

[e7e5]

RIP писал(а):

0) А какой смысл записывать $R$ в виде $a\rho$?

1) Вас интересует точная формула? Тогда

$$\sum_{m^2-mn+n^2\le R^2}1=\sum_{n=-\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}^{\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}\left(\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}+n}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}-n}2\right\rfloor+1\right),$$

где $\lfloor x\rfloor$ --- целая часть $x$. Но толку от этой формулы чуть. Если интересует приближённая формула (при больших $R$), то тривиальная оценка

$$\frac{\text{площадь круга}}{\text{площадь клеточки}}+O(R)=\frac{2\pi R^2}{\sqrt3}+O(R).$$

0) Подумал, что для каких-то значений R формула могла бы быть "простой" ( смысла нет, как вижу)
1) А вот c точной формулой не разобрался.
$m^2-mn+n^2\le R^2$ - почему так? - напоминает выражение квадрата модуля числа Эйзенштейна, и почему $1$?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #204052 писал(а):

из начала координат проведем окружность радиуса $R=a\rho$

Я так понял, что Вы не только тетрадки в косую клеточку сыскали, но и циркуль с комплексным раствором?
(или у нас множитель a такой, что удалает мнимости?)

Добавлено спустя 20 минут 58 секунд:

e7e5 в сообщении #204166 писал(а):

А вот c точной формулой не разобрался.

e7e5, в левой части формулы, написанной RIPом, сказано: суммирование ведётся по всем парам $m,n$, таким, что $m^2-mn+n^2\le R^2$, т.е. по тем числам $m+n\rho$, которые удалены от начала координат недалеко и попадают в окружность. Объектом суммирования является единичка, т.к. каждый раз, тыкая пальчиком в такое число, мы прибавляем 1. Т.е. чисто пересчитываем такие числа. Т.е. левая часть просто обозначает, определяет то, что мы намерены сосчитать и не является "формулой". Именно в правой части написано, чему же равен результат такого расчёта.