Ряд из случайных величин, свойства и распределение

[dantes1]

Здравствуйте уважаемые форумчане. У меня имеется трудная задачка (на мой взгляд). Итак:

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4jabg2 % da9maalaaabaGaeqOVdG3aaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaGcbaGaaG4m % aaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiabe67a4naaBaaaleaacaaIYaaabeaaaO % qaaiaaiodadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaey4kaSYaaSaaaeaa % cqaH+oaEdaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaaIZaWaaWbaaSqabe % aacaaIZaaaaaaakiabgUcaRiaac6cacaGGUaGaaiOlaiabgUcaRmaa % laaabaGaeqOVdG3aaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaGcbaGaaG4mamaaCa % aaleqabaGaam4AaaaaaaGccqGHRaWkcaGGUaGaaiOlaiaac6caaaa!5468! \[ \xi = \frac{{\xi _1 }} {3} + \frac{{\xi _2 }} {{3^2 }} + \frac{{\xi _3 }} {{3^3 }} + ... + \frac{{\xi _k }} {{3^k }} + ... \]
где % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4naaBa % aaleaacaaIXaGaaiilaaqabaGccqaH+oaEdaWgaaWcbaGaaGOmaiaa % cYcaaeqaaOGaeqOVdG3aaSbaaSqaaiaaiodacaGGUaGaaiOlaiaac6 % cacaGGUaaabeaaaaa!43FC! \[ \xi _{1,} \xi _{2,} \xi _{3....} \]- последовательность независимых случайных величин принимающих значения 0 и 2 свероятностями 1/3 и 2/3.
Доказать:
1) что % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4baa!3982! \[ \xi \] непрерывно распределена;
2) функция распределления % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4baa!3982! \[ \xi \]является сингулярной;
3) вычислить меру Лебега по спектральной плотности % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4baa!3982! \[ \xi \]
Возможно, я кое-что мог напутать. Переводил с английского. По первому заданию интуитивно понимаю, что Х распределена непрерывно, а как формально доказать не знаю. Со вторым и третьим еще хуже дела. Вероятно здесь больше функционального анализа и теории меры и интеграла, чем самой вероятности (простите за каламбур)
Просьба выразить свои мнения или подсказать, что нужно почитать. Когда-то давно изучал университетский курс вероятности. Очевидно плохо в памяти сохранилось . Заранее благодарю.

[gris]

$X$ это канторово множество. Оно несчётно, замкнуто и имеет нулевую меру Лебега. Это может многое прояснить.
Просто интересно - как это интуитивно видится непрерывность случайной функции?

[Хорхе]

dantes1 писал(а):

3) вычислить меру Лебега по спектральной плотности Х

То есть спектральную плотность по мере Лебега?

[dantes1]

Хорхе писал(а):

dantes1 писал(а):

3) вычислить меру Лебега по спектральной плотности Х

То есть спектральную плотность по мере Лебега?

В оригинале зввучало так:
Calculate the lebesgue measure at the spectrum % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVeYdOipgYtb91rFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0-OqFf % ea0dXdd9vqai-hGC6xGuk9pgc9q8qqaq-dij-lirpepic9fr-xfr-x % frpeWZqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabe67a4baa!3982! \[ \xi \]

Добавлено спустя 25 минут 44 секунды:

gris писал(а):

$X$ это канторово множество. Оно несчётно, замкнуто и имеет нулевую меру Лебега. Это может многое прояснить.
Просто интересно - как это интуитивно видится непрерывность случайной функции?

Речь идет о непрерывности, как о классе случайных величин. А не о непрерывности в смысле существования пределов в точке.
Спасибо, за направление в сторону Кантора.

[Хорхе]

dantes1 писал(а):

Calculate the lebesgue measure at the spectrum $\xi$

Что такое спектр случайной величины? Носитель распределения? Вряд ли - из пункта 2 следует, что носитель нулевой меры Лебега.

Насчет непрерывности: функция распределения этой величины - канторова лестница (функция роста для канторова множества).

Добавлено спустя 5 минут 33 секунды:

Хотя логично называть спектром характеристическую функцию. Если это так, то просто: х.ф. суммы независимых = произведению х.ф.

[dantes1]

Если это прояснит ситуацию, на всякий случай предлагаю английскую версию
В оригинале всюду вместо Х было кси(греческая буква)
In English:
X=X1/3 + X2/9 +X3/27 + ...+Xk/3*k+...,
where Х1,Х2,...,Хk,... is a sequence of independent random variables, taking values 0 and 2 with probabilities 1/3 and 2/3
1) prove that X has a continuous distribution
2) prove that F (с индексом кси) is singularly continuons
3) calculate the lebesgue measure at the spectrum S(с индексом кси)

[Gafield]

Может, здесь функция распределения - канторова лестница (нормированная)? Если так, ее свойства можно найти в учебниках по анализу и ТФДП. То, что она непрерывна, доказывается несложно. То, что есть точки, где нет производных тоже (singularity?), поскольку она постоянна на множестве меры 1 и т.д.

[RIP]

Gafield в сообщении #204016 писал(а):

То, что есть точки, где нет производных тоже (singularity?)...

Сингулярность означает, что функция распределения непрерывна, и её производная равна нулю почти всюду (в смысле классической меры Лебега).

[ewert]

ну только надо добавить, что "и при этом она не есть константа".

[RIP]

ewert в сообщении #204024 писал(а):

ну только надо добавить, что "и при этом она не есть константа".

Если формально, то да. Просто для функции распределения это уточнение излишне.

[ewert]

RIP в сообщении #204026 писал(а):

Просто для функции распределения это уточнение излишне

Да, это я зевнул. А вот что такое "спектральная плотность случайной величины" -- честно, не знаю. Вполне не исключено, что имеется в виду попросту характеристическая функция. Но тогда непонятно, что такое "мера функции".

[dantes1]

Спасибо большое за Ваши рекомендации. Насколько я понял рапределение членов последовательности не влияет на решение первых двух пунктов.

[RIP]

dantes1 в сообщении #204125 писал(а):

Насколько я понял рапределение членов последовательности не влияет на решение первых двух пунктов.

В каком смысле?

[dantes1]

Я имел в виду, что не важно с какими вероятностями достигаются значения 0 и 2.

[--mS--]

dantes1 писал(а):

Я имел в виду, что не важно с какими вероятностями достигаются значения 0 и 2.

Да (если обе эти вероятности ненулевые). От них зависит лишь вид функции распределения - она по сравнению со стандартной канторовской лестницей "перекошена": на $[1/3,\,2/3]$ она равна $p=\mathsf P(\xi_1=0)$ и т.д.